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- 2021-06-21 发布
鸡泽一中高三数学第一次周测试题（理）【来源：全,品…中&高*考+网】
第l卷（选择题共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，且，则集合可能是
A. B. C. D.
2.已知命题则命题p的否定形式是
A． B．
C． D．【来源：全,品…中&高*考+网】
3已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )
A． B．2 C． D．
4. 已知
A． B． C． D．
5.已知数列中，，，为其前项和，则的值为
A.57 B.61 C.62 D. 63
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
7.为了得到，只需要将作如下变换
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
8.若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，东直线
扫过A中的那部分区域的面积为
A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
9.已知定义在R上的函数满足f（x）=f（2-x），其图像经过点（2,0），且对任意恒成立，则不等式的解集为
A． B． C． D．
10.在四面体S-ABC中， AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是
A. B. C. D.
11.已知函数,则关于x的方程实根个数不可能为
A.2 B.3 C.4 D.5
12. 函数部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则
A.在上是减函数 B.在上是增函数
C.在上是减函数 D.在上是增函数
第II卷(非选择题 共90分)
二、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．已知,,,则向量与的夹角是_________.
14. 若，则=________.
15．已知在中， ,，其外接圆的圆心为 ， 则_____．
16.下列是有关的几个命题，
①若，则是锐角三角形；②若，则是等腰三角形；③若，则是等腰三角形；④若 ，则是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______
三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分12分）
已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且
（I）求角A的值；
（II）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积。
18.（本小题满分12分）
如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角D-PE-A的余弦值.
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
20. （本小题满分12分）已知椭圆C:短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数在x=2处取得极值。
（I）求实数的值及函数的单调区间；
（II）方程=m有三个实根求证：
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l
的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．
鸡泽一中高三数学第一次周测试题（理）
一、 选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.
ACCDA DCDDB DB
二、 填空题：每题5分，共20分.
, 500， 10， ①③
三、解答题
17.本题满分12分
解：(Ⅰ)由
变形为
………………2分
因为
所以
………………4分
又 ………………6分
（Ⅱ）在中，，，
利用余弦定理，
解得， ………………8分
又D是的中点
………………12分
18．本题满分12分
解：（1）连接，交于点，连接，则平面 1分
证明：为中点，为中点
为的中位线， 2分
又平面平面
平面平面=,平面,
平面
， 4分
又，
平面
所以平面 6分
（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，
平面PEA
平面PEA的法向量 8分
另外，，
，,设平面DPE的法向量，则
，令，得 10分
又为锐二面角,所以二面角的余弦值为12分
注意：其它答案可参考给分
19．本题满分12分
解：（I）因为
又由X1的概率分布列得
由 4分
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. 8分
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
据此，乙厂的产品更具可购买性。 12分
20．本题满分12分
解：（1）由题意 即……………… 4分
（2）设，
由得
同理 6分
i) 时，过定点
ii) 时过点过定点
（3）由（2）知
8分
令时取等号时去等号， 12分
21．本题满分12分
解：(Ⅰ)由已知，，………1分
所以，
由，得或； 由，得，………3分
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.………4分
（Ⅱ）由（1）可知极小值；极大值为
可知方程三个实根满足………5分
设，
则，
即
所以，
由（1）知函数在上单调递减，
从而，即①………8分
同理设
）
即
，由（1）知函数在上单调递增，【来源：全,品…中&高*考+网】
从而，即②………11分
由①②可得 得证. ………12分
22．本题满分10分
解：(1)∵ρ＝4cosθ.
∴ρ2＝4ρcosθ，
由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得x2＋y2＝4x， 3分
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
消去t解得：.所以直线l的普通方程为. 5分
(2)把代入x2＋y2＝4x.
整理得t2－3t＋5＝0.
设其两根分别为t1，t2，则t1＋t2＝3，t1t2＝5.
所以|PQ|＝|t1－t2|＝＝. 10分