2020高中数学 课时分层作业14 等比数列的性质 新人教A版必修5 5页

课时分层作业(十四)　等比数列的性质 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)‎ A．±　　　　　　　　 B．－ C. D．± C　[根据等比数列的性质可知a‎1a5＝a⇒a5＝＝.]‎ ‎2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于(　　)‎ ‎【导学号：91432208】‎ A．32 B．16‎ C．12 D．8‎ B　[＝q3＝＝2，‎ ‎∴a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(2)3＝24＝16.]‎ ‎3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a‎40a50a60的值为(　　)‎ A．32 B．64‎ C．256 D．±64‎ B　[由题意得，a‎1a99＝16，‎ ‎∴a‎40a60＝a＝a‎1a99＝16，‎ 又∵a50>0，∴a50＝4，‎ ‎∴a‎40a50a60＝16×4＝64.]‎ ‎4．设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N*，若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23,17,37,82}中，则q等于(　　)‎ ‎【导学号：91432209】‎ A．－ B．－ C．－或－ D．－或－ C　[即an的连续四项在集合{－54，－24,16,36,81}中，由题意知，这四项可选择－54,36，－24,16，此时，q＝－，若选择16，－24,36，－54，则q＝－.]‎ - 5 -‎ ‎5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)‎ A. B.或 C. D．以上都不对 A　[不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，‎ 对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x10，∴a‎8a15＝2.]‎ ‎2．公差不为零的等差数列{an}中，‎2a3－a＋‎2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　)‎ ‎【导学号：91432213】‎ A．16 B．14‎ C．4 D．49‎ A　[∵‎2a3－a＋‎2a11＝2(a3＋a11)－a＝‎4a7－a＝0，‎ ‎∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝b＝16.]‎ ‎3．在等比数列{an}中，若a7＝－2，由此数列的前13项之积等于________．‎ ‎－213　[由于{an}是等比数列，‎ ‎∴a‎1a13＝a‎2a12＝a‎3a11＝a‎4a10＝a‎5a9＝a‎6a8＝a，‎ ‎∴a‎1a2a2…a13＝(a)6·a7＝a，‎ 而a7＝－2.‎ ‎∴a‎1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.]‎ ‎4．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.‎ ‎－1　[由题意，知a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.]‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎【导学号：91432214】‎ ‎[解]　(1)证明：∵an＋Sn＝n，①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝，∵首项c1＝a1－1，‎ 又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，‎ 又cn＝an－1，∴q＝.‎ - 5 -‎ ‎∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．‎ ‎(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－n.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－1－n－1＝n－1－n＝n.‎ 又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝n.‎ - 5 -‎