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- 2021-06-21 发布
专题25 数列的综合应用
【高频考点解读】
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题
【热点题型】
热点题型一 公式法求和
例1、等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16。
(1)求数列{an}的通项公式。
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。
解得
所以bn＝b1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n。
数列{bn}的前n项和Sn＝nb1＋d＝2n＋×2＝n2＋n。
【提分秘籍】
几类可以使用公式求和的数列
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解。
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解。
【举一反三】
已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和。
(1)求an及Sn。
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0。求{bn}的通项公式及其前n项和Tn。
(2)由(1)得a4＝7，S4＝16。
因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0。
即q2－8q＋16＝0，
所以(q－4)2＝0，从而q＝4。
又因为b1＝2，{bn}是公比为4的等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1。
从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)。
热点题型二 分组法求和
例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和。
解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝n。
故数列{an}的通项公式为an＝n。
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn。记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)。
记A＝21＋22＋…22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n。
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2。
【提分秘籍】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。
提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论。
【举一反三】
在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3。
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn。
(2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n。
当n为偶数时，Sn＝n＋－＝＋n－。
当n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－。
所以Sn＝。
热点题型三 裂项相消法求和
例3．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn。
①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，
∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列。
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴Sn＝。
(2)又bn＝＝
＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝。
【提分秘籍】
常见的裂项方法(其中n为正整数)
数列
裂项方法
(k为非零常数)
＝
＝
＝(－)
a>0，a≠1
loga＝loga(n＋1)－logan
【举一反三】
在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。
(1)求{an}的通项an。
(2)若cn＝，求{cn}的前n项和Sn。
又因为a1q2＝4，q>0，所以
所以an＝16·n－1＝25－n。
(2)由(1)知bn＝log2an＝log225－n＝5－n。
所以cn＝－＝－，
所以Sn＝－
＝－＝－。
热点题型四 错位相减法求和
例4、已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0。
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n＋1，求数列{an}的前n项和Sn。
解析：(1)因为bn≠0，
所以由anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，
得－＋2＝0，即－＝2，
所以cn＋1－cn＝2，所以{cn}是以c1＝＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以cn＝1＋(n－1)×2＝2n－1。
(2)因为bn＝3n＋1，cn＝2n－1。
所以an＝cnbn＝(2n－1)3n＋1。
所以Sn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)3n＋1，
3Sn＝1×33＋3×34＋…＋(2n－3)3n＋1＋(2n－1)3n＋2，
作差得：－2Sn＝32＋2(33＋34＋…＋3n＋1)－(2n－1)3n＋2
＝9＋2×－(2n－1)3n＋2
＝－[18＋2(n－1)3n＋2]，
所以Sn＝9＋(n－1)3n＋2。
【提分秘籍】利用错位相减法的解题策略
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解。若{bn}的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和。
【举一反三】
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an。
(1)证明：数列{an＋2}是等比数列。并求数列{an}的通项公式an。
(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，设Tn是数列的前n项和。求证：Tn<。
所以an＋2＝2(an－1＋2)，所以＝2，
所以{an＋2}是以a1＋2为首项，以2为公比的等比数列。
所以an＋2＝4·2n－1，所以an＝2n＋1－2。
(2)由bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，得＝，
则Tn＝＋＋…＋，③ Tn＝＋…＋＋，④
③－④，得Tn＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝＋－－＝－。
所以Tn＝－<。
【高考风向标】
1.【2017课标II，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，
(1)若 ，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）（2）见解析
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式
由得.
解得
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
2.【2017课标3，文17】设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
(1)当时, ,当时,由,①
,②
①②得,即,验证符合上式,所以 .
(2)., .
3.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.
(I)求数列{an}通项公式；
(II){ bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.
（Ⅱ）由题意知： ，
又
所以,
令,
则，
因此
,
又,
两式相减得
所以.
4.【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以.
从而.
1.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知是公差为3的等差数列,数列满足,.
（I）求的通项公式；
（II）求的前n项和.
【答案】（I）（II）
【解析】（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则
2.【2016高考新课标2文数】等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
当n=1,2,3时，；
当n=4,5时，；
当n=6,7,8时，；
当n=9,10时，.
所以数列的前10项和为.
3.【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知是等差数列，是等差数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）（，，，）；（2）
设等差数列的公差为．
因为，，
所以，即．
所以（，，，）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
因此．
从而数列的前项和
．
4.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）
已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由，得， ，
两式作差，
得.
所以
5.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（I）求通项公式；
（II）求数列{}的前项和.
【答案】（I）；（II）.
（Ⅱ）设，，.
当时，由于，故.
设数列的前项和为，则.
当时，，
所以，
【2015高考福建，文17】等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（I）设等差数列的公差为．
由已知得，
解得．
所以．
（II）由（I）可得．
所以
．
【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列满足，．
（I）求的通项公式；
（II）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
【答案】（I）；（II）与数列的第项相等.
（Ⅱ）设等比数列的公比为.
因为，，
所以，.
所以.
由，得.
所以与数列的第项相等.
【2015高考安徽，文18】已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅱ）
又
所以
.
【2015高考山东，文19】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
【答案】（I） (II)
【解析】
（I）设数列的公差为，
令得，所以.
令得，所以.
解得，所以
（II）由（I）知所以
所以
两式相减，得
所以
【2015高考重庆，文16】已知等差数列满足=2，前3项和=.
(Ⅰ)求的通项公式，
(Ⅱ)设等比数列满足=，=，求前n项和.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
故通项公式，即.
(2)由（1）得.
设的公比为q,则,从而.
故的前n项和
.
1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足
anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
2．（ 2014·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．
又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，
于是10＋3d≥0，10＋4d≤0，
解得－≤d≤－，
因此d＝－3.
故数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.
3．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，
所以an＝2n－1.
(2)由题意可知，
bn＝(－1)n－1
＝(－1)n－1
＝(－1)n－1.
当n为偶数时，
Tn＝－＋…＋－
＝1－
＝.
当n为奇数时，
Tn＝－＋…－＋
＝1＋
＝.
所以Tn＝
4．（2013·江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
(2)证明：由于an＝2n，bn＝，
则bn＝＝.
Tn＝
＝<＝.
5．（2013·湖南卷）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．
6．（2013·山东卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.
【解析】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1
得
解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由题意知Tn＝λ－，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.
故cn＝b2n＝＝(n－1)，n∈N*.
所以Rn＝0×＋1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×，
则Rn＝0×＋1×＋2×＋…＋(n－2)×＋(n－1)×，
两式相减得
Rn＝＋＋＋…＋－(n－1)×
＝－(n－1)×
＝－，
整理得Rn＝4－.
所以数列{cn}的前n项和Rn＝4－.
【高考冲刺】
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n＝( )
A．13 B．10
C．9 D．6
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 012＝( )
A．22 012－1 B．3·21 006－3
C．3·21 006－1 D．3·21 005－2
解析：a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2。
∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 011＋a2 012
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 012)
＝＋＝3·21 006－3.故选B。
答案：B
3．已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列{}的前n项和为Sn，则S2 012的值为( )
A. B.
C. D.
4．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )
A. B．6
C．10 D．11
解析：依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B。
答案：B
5．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．－100 B．0
C．100 D．10 200
解析：若n为偶数时，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列。所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋×4＋50×(－5)－×4＝－100。
答案：A
6．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 014＝( )
A．1 006 B．1 007
C．1 008 D．1 009
解析：由an＋1－an＝sin⇒an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，因此a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S2 014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008，故选C。
答案：C
7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 013＝__________。
解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005。
答案：－1 005
8．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝__________。
9．对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝__________。
解析：曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn,0)，则有(n＋1)xn－n＝0⇒xn＝，
∴an＝lgxn＝lg＝lgn－lg(n＋1)，
∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2。
答案：－2
10．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式。
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn。