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- 2021-06-20 发布
2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第六章 数列
第02节 等差数列及其前n项和
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1．【2017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为，若，，且，则该数列的公差是（ ）
A.3 B.-3 C.-2 D.-1
【答案】B.
2．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列中，，则 （ ）
A.10 B.20 C.40 D.
【答案】B
【解析】因为，所以选B.
3．数列为等差数列，满足，则数列前21项的和等于（ ）
A． B．21 C．42 D．84
【答案】B
【解析】根据等差数列的求和公式，可知，即，所以数列前21 项的和为，故答案为B．
4．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第一次月考】数列是首项，对于任意，有，则前5项和（ ）
A. 121 B. 25
C. 31 D. 35
【答案】D
【解析】令,有,等差，首项为1，公差为3， ,.
5．【改编题】已知是等差数列的前项和，则（ ）
A. 30 B. 3 C. 300 D.
【答案】D
6．【改编题】已知是公差不为零的等差数列的前项和，且，（），则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，可知，即，由得，将代入化简得，
解得或（舍去），选B.
7．【2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知等差数列中， ，则的前项和的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，所以通项公式，当 ，解得 即 ，即前项和最大， ，故选C.
8．【2018届广东省珠海市高三摸底考试】对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
.仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为( )
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
【答案】C
9．某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元. 设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该设备第的营运费用为万元，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，则该设备到第年的营运费用总和为，设第的盈利总额为万元，则
，因此，当时，取最大值，故选B.
10．【原创题】已知等差数列中，, 则的值是（ ）
A． 15 B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，，故，又，故，则，，故．
11．【原创题】已知等差数列的展开式中
项的系数是数列中的 （ ）
A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项
【答案】D．
12.【2017届四川省成都市第七中学高三6月1日热身】已知等差数列中， ，满足，则等于（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】B
【解析】由题意得公差 ,即 ,代入验证得当 时成立,选B.
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13.【2016江苏8】已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．
【答案】20
【解析】设公差为，则由题意可得，
解得，则．
14.【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】等差数列满足 ，函数， ，则数列的前项和为________
【答案】
15．【2018届江苏省南京市高三上期初调研】记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110， 则m的值为__________．
【答案】6
【解析】是等差数列， ，可得
16．【2017届四川省广元市高三第三次统考】若数列是正项数列，且，则等于____________.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】当时， ，当时， ②，题设为①，①-②得到，即 ，那么 ，所以.
二、 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.【2018届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】已知为等差数列， .
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值.
【答案】(1) ；（2）.
【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，得到等差数列的通项公式；（2）直接由a1，ak，Sk+2成等比数列列式求得k值．
试题解析：(1) 解得： ，所以.
（2） ， ， （舍去），.
18.【2018届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上第一次月考】已知等差数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且，求的前项和.
【答案】(1) (2)
试题解析：（1）设等差数列的首项为,公差为， ，所以，解得。
（2）
所以，
19．【2018届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考】已知等差数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的公差不为0，数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
（2）由数列的公差不为0，可得，则由错位相减法可求数列的前项和.
试题解析：（1）由题得， ，设等差数列的公差为，则，
化简，得或.
当时， ，得，
∴，
即；
当时，由，得，即；
（2）由题意可知， ，
∴，①
，②
①-②，得，
∴.
20．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）设数列的公差为，
令得，所以.
令得，所以.
解得，所以
（2）由（1）知所以
所以
两式相减，得
所以
21．【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三第二次月考】(1)在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列的通项公式是，求数列的前项和．
【答案】（1） ；（2）.
【解析】试题分析：（1）由已知得，从而，进而求出
，根据二次函数的性质可得当或时，取得最大值；（2）由已知得是首项为，公差为的等差数列，从而数列的前项和，由，得，从而时，时，，由此能求出数列的前项和.
∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．
令 ,由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，
而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，则
22．【2017届福建省高三4月单科质量检测】某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.
（1）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；
（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）
【答案】（1）， ；（2）第8年.
【解析】试题解析：
所以， ，
令，得，解得，
所以， ， .
（2）由（1）可知当时，总利润
，
所以， ，
因为为增函数， ，
所以，当时， ；当时， ，
又因为，
所以，当时， ，即前6年未盈利，
当时， ，
令，得.
综上，预计该公司从第8年起开始盈利.