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- 2021-06-20 发布
长郡中学2018届高三考试卷（二）
数 学（理科）
命题人：长郡中学高三理科数学备课组
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列集合中，是集合的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
2.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A． B． C． D．
3.已知复数，则下列命题中正确的个数为（ ）
① ② ③的虚部为 ④在复平面上对应点在第一象限
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C. D．
5.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18 C.12 D．9
6.函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记则之间的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
7.展开式中，项的系数为（ ）
A．30 B．70 C.90 D．-150
8. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A． B． C. D．
9.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C. D．
10.以下判断正确的个数是（ ）
①相关系数值越小，变量之间的相关性越强；
②命题“存在”的否定是“不存在”；
③“”为真是“ ”为假的必要不充分条件；
④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是.
A．4 B．2 C.3 D．1
11.已知函数（是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
14.已知，且，则 ．
15.已知数列的通项为，若的最小值为，则实数的取值范围是 ．
16.已知球的直径是该球球面上的两点，若
,则棱锥的表面积为 ．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）求的值；
（2）在中，角的对边分别为，若，的面积是，求的周长.
18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差
10
11
13
12
8
6
就诊人数（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（1） 求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2） 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据3至5月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？
参考公式：.
19. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，.
（1） 求数列和的通项公式；
（1） 令，设数列的前项和，求.
20. 已知函数，其中，且.
（1） 设，若函数图象与轴恰有两个不同的交点，试求的取值集合；
（2） 求函数在上的最大值.
21. 已知函数.
（1） 若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（2） 当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为.
（1） 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 过点作斜率为1的直线与圆交于两点，试求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1） 当时，解不等式；
（2） 当时，恒成立，求的取值范围.
炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（二）
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:DACCB 6-10:BBCCB 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 15. 16.16
三、解答题
17.【解析】（1)∵函数，
∴，
解得.
（1） 时，
中，，
∴，
又，
∴，
∴，
；
∵的面积是，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为6.
18. 【解析】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件,因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月份的数据的情况有5种，所以.
(2) 由数据求得，由公式求得，再由.
所以关于的线性回归方程为.
（3） 当时，；同样，当时，，
所以该小组所得线性回归方程是理想的.
19. 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公式为，
由.
得，解得.
∴.
（2） 由得，
则为奇数，，
为偶数，.
∴
20. 【解析】（1）①若恰有一解，且解不为，即，解得；
②若有两个不同的解，且其中一个解为，代入得，
解得，检验满足；
综上所述，的取值集合为.
（2） ①若，即，函数在上单调递增，故；
②若，即时，
此时，且的图象的对称轴在上，且开口向上；
故，
③若，即时，
此时，
综上所述，.
21. 【解析】（1）∵，
∴，又函数在区间上为增函数，
∴当时，恒成立，
∴，即的取值范围为.
（2） 当时，，故不等式，
即对任意恒成立.
令则，
令，
则在上单调递增.
∵，
∴存在使
即当时，，即，
当时，，即，∴在上单调递减，在上单调激增.
令，即，
，
∴且，
即.
22. 【解析】（1）由，可得∴，
∴，即；
（2） 过点作斜率为1直线的参数方程为，
代入得，
对应的参数为，则，
由的意义可得.
23. 【解析】（1），
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
综上所述，不等式的解集为.
（2） 当时，恒成立
恒成立
或恒成立
或恒成立，
∴当时，①或②恒成立，
解①，不存在；解②得：.
综上知，.