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- 2021-06-20 发布
四、数列、不等式
1数列的概念
(1)数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
(2)前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，an＝
2等差数列的有关概念
(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.
(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.
(4)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A＝.
3等差数列的性质
(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
(2)若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．
(3)当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.
4等比数列的有关概念
(1)等比数列的判断方法：定义法＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．
(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q
的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．
(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.
5等比数列的性质
当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.
6数列求和的方法
(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．
如：＝－；＝.
7在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．
8不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．
9两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．
10含参数不等式求解的通法是“定义域是前提，函数增减性是基础，分类讨论是关键”．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”．注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
11利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤2等求函数的最值时，务必注意a，b∈R＋(或a，b非负)，ab或a＋b应是定值，特别要注意等号成立的条件．
12解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
数列an与Sn的关系不清致误
已知数列{an}的前n项之和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________．
[错解] an＝2n
[错因分析] 若an＝2n，则a1＝2，事实上a1＝S1＝3.
[正解] 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，
∴an＝
[答案] an＝
[防范措施] 本题的失分原因是没有注意到an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下才能成立．这是由于对数列概念理解不透彻所致．在解关于由Sn求an的题目时，按两步进行讨论，可避免出错．①当n＝1时，a1＝S1；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.检验a1是否适合由②求得的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数：
an＝来表达．
补救训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，
得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，
所以－＝2(n≥2，n∈N*)，故是等差数列．
(2)由(1)知，＝2n，故Sn＝，an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)，
所以an＝
忽视等比数列中q的分类讨论致误
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
[错解] 由S3＋S6＝S9得
＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q6－1)(q3－1)＝0
∵q≠1，∴q6＝1，q＝－1.
[错因分析] 当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为
q≠1.
[正解] ①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，
∴S3＋S6＝S9成立．
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，
得＋＝.
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.
[答案] 1或－1
[防范措施] 在表示等比数列{an}的前n项和时，考生只想到Sn＝，把q＝1的情况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透彻所致．解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论，这是防止出错的一个很好方法．
补救训练2 [2016·湖北八校联考]在等比数列{an}中，a3＝，S3＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2，且{bn}为递增数列，若cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
则由题意得S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝，
解得q＝1或q＝－，
当q＝1时，an＝；
当q≠1时，a1＝＝6，∴an＝6·n－1.
(2)证明：∵{bn}为递增数列，∴an＝6·n－1，
∴a2n＋1＝6·n，∴bn＝2n，
∴cn＝＝＝，
∴c1＋c2＋c3＋…＋cn＝<.
数列求最值忽略n的限制条件致误
已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是( )
A．第6项或第7项 B．第7项或第8项
C．第8项或第9项 D．第7项
[错解] 因为an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)·n＝n·，当n<7时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，当n>7时，an＋1－an<0，即an＋10，即an＋1>an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>7时，an＋1－an<0，即an＋1a9>a10…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.
[答案] B
[防范措施] 求解数列{an}的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误.
补救训练3 已知数列{bn}通项公式为bn＝3×n－1＋，Tn为{bn}的前n项和．若对任意n∈N*，不等式≥2n－7恒成立，则实数k的取值范围为________．
答案 k≥
解析 因为bn＝3×n－1＋，
所以Tn＝3＋＝＋＝6＋.因为不等式≥2n－7，
化简得k≥对任意n∈N*恒成立．
设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝，
当n≥5且n∈N*时，cn＋1cn，{cn}为单调递增数列，＝c40，数列{an}的前n项和为Sn，数列{|an|}的前n项和为Tn，则,当n≤m时，Tn＝－(a1＋a2
＋…＋an)＝－Sn，,当n>m时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋…＋an)＝Sn－2Sm，要注意这个转化策略.在数列问题中，一定要注意项数n的取值范围，特别是在它取不同的值造成不确定的因素时，要注意对其加以分类讨论.
补救训练4 已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
解 (1)由已知设an的公差为d，得
解得或
所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列，
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|
＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足此式，
综上，Sn＝
裂项相消求和忽略余项致误
在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为( )
A. B.
C. D.
[错解] an＝＋＋…＋＝(1＋2＋…＋n)＝，从而bn＝＝－，所以数列{bn}的前n项和Sn＝1－＋－＋…＋－＝，故选B.
[错因分析] bn＝＝4，裂项前后等号不成立．
[正解] 由已知得an＝＋＋…＋＝(1＋2＋…＋n)＝，
从而bn＝＝＝4，所以数列{bn}的前n项和为Sn＝
4＝4＝.故选D.
[答案] D
[防范措施] 裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误，一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的.
补救训练5 正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4＋2,2a7－8成等比数列，{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设数列{an}公差为d(d>0)，
由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2，
化简得d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍)，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.
(2)因为Sn＝＝＝n2＋3n，
所以bn＝＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝－＝.
忽视基本不等式中等号成立的条件致误
已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求2＋2的最小值．
[错解] 由2＋2＝a2＋b2＋＋＋4≥2ab＋＋4≥4＋4＝8，
得2＋2的最小值是8.
[错因分析] 两次利用基本不等式，条件不能同时成立．
[正解] 2＋2
＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)＋＋4
＝[(a＋b)2－2ab]＋＋4
＝(1－2ab)＋4，由ab≤2＝，
得1－2ab≥1－＝，且≥16,1＋≥17.
∴原式≥×17＋4＝(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴2＋2的最小值是.
[防范措施] 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、二定、三相等”的条件．在上面的解答中，两次用到了基本不等式a2＋b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a＝b＝，第二次等号成立的条件是ab＝，显然，这两个条件是不能同时成立的，因此，8不是最小值．
解决这类问题时，应尽量避免多次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检查等号是否能同时成立．
补救训练6 [2016·唐山一模]已知x，y∈R，满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．
答案 [4,12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，∴6－(x2＋4y2)≤，∴x2＋4y2≥4，当且仅当x＝2y时取等号．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12.综上可得4≤x2＋4y2≤12.