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- 2021-06-20 发布
2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中考试数学试题（文科）
时间：120分钟 总分：150分 命题人、审题人：陈勍 李林刚
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 ， 则 （ ）.
2．（ ）.
3．要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）.
向左平移 个单位 向右平移 个单位
向左平移 个单位 向右平移 个单位
4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于( ).
A．－1 B．－ C. D．1
5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）.
6. 观察下列事实的不同整数解的个数为4 ， 的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12 ….则的不同整数解的个数为（ ）．
7．已知变量满足约束条件则的最小值为（ ）．
A． B． C． D
8．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）．
A． B． C． D．
9．设 若则下列关系式中正确的是（ ）．[]
10．执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为 （ ）．
A． B． C． D．
11．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）．
12．设正实数 满足则当取得最小值时， 的最大值为( )．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）
13.函数 的最大值为________.
14. 在 中， 则 ________.[]
15.偶函数 的图像关于直线 对称， 则________.
16.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）
17.（本小题满分12分）设数列满足：，，（）.
（1）求的通项公式及前项和；
（2）已知是等差数列，为其前项和，且，，求.
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中， 面，，， ， ， 是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19.（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， 所得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
20.（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率，椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
（1）讨论错误！未找到引用源。的单调性；[
（2）当错误！未找到引用源。有最大值，且最大值大于错误！未找到引用源。时，求
错误！未找到引用源。的取值范围.
（二）选考题（共10分.请考生在第22-23两题中任选一道作答，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1) 若极坐标为的点在曲线上，求曲线与曲线的交点坐标；
(2)若点的坐标为，且曲线与曲线交于两点，求.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知，，，函数的最小值为4.
(1)求的值； (2)求的最小值.
长安一中2017-2018学年度第二学期期中考试
高二年级 数学参考答案（文科）
一、选择题： 1-5.CBDDA 6-10. BACDC 11-12. BD
二、填空题：13． 14. 1 15. 3 16.
三、解答题：
17.（12分）解：(1)由题知：，所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，因此，前n项和.
(2) 是等差数列，由题知：而解得：所以：.
18. （12分）解：（1）证明：如图，取PB中点M，连结AM，MN，因为MN是的中位线，所以，且，由题意得，且，则有：且，所以四边形AMND是平行四边形，因此，所以平面PAB.
(2)∵N是PC的中点，∴N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，∴三棱锥N−ACD的高是2.在等腰△ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC边上的高为. BC∥AD,∴C到AD的距离为，∴S△ADC=.∴三棱锥N−ACD的体积是.
19.（12分）解：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03
(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人
(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种，如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)= .
20.（12分）
（1）∵∴，∵椭圆过点∴
（2），代入椭圆方程中整理得，，，则P点到直线"l" 的距离，
当且仅当，即时取得最大值2.
21.（12分）
解：（1）的定义域为，若，则，所以在单调递增，若，则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.[]
（2）由（1）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，，因此等价于，令，则在单调递增，，于是，当时，；当时，，因此的取值范围是
22.( 10分) 解：点对应的直角坐标为，
由曲线的参数方程知：曲线是过点的直线，故曲线的方程为.
而曲线的直角坐标方程为，联立得
解得：故交点坐标分别为. （5分）
(2)由判断知：在直线上，将代入方程得：，设点对应的参数分别为，
则，，而，所以. （10分）
23. ( 10分) 解： (1)因为
当且仅当时，等号成立.
又，，所以，
所以的最小值为.
又已知的最小值为4，所以. （5分）
(2) 由(1)知，由柯西不等式得，
所以.
当且仅当，即，，时等号成立.
所以的最小值为. （10分）