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- 2021-06-20 发布
数学（理科）试卷
注意事项：
1.本试卷共分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，务必直接填写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案直接填写在对应的答题纸上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，只需将答题纸交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.
1.设集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
将等价转化为范围问题，再利用集合关系判断充分不必要条件．
【详解】，则“”是“”的充分不必要条件
故选A
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系判断是解决问题的关键，属于基础题．
2.如图所示的韦恩图中是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合．若,则A*B（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
A*B，选D.
3.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
是奇函数,但是,[−1,1]上单调增函数．
不是奇函数，
对于,因为,所以是奇函数,在[−1,1]上单调减函数，
是偶函数,[−1,1]上单调递增．
故选C.
4.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A. 函数有极大值和极小值
B. 函数有极大值和极小值
C. 函数有极大值和极小值
D. 函数有极大值和极小值
【答案】D
【解析】
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
5.已知定义域为的奇函数，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
奇函数定义域必关于原点对称，求出a的值．定义域有原点的奇函数必过原点
【详解】奇函数定义域必关于原点对称，即
，
即，
故选A
【点睛】本题考查奇函数的相关性质，属于基础题．
6.命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则( )
A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.
【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，
对于命题∵，，∴函数在上有一个零点，
又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，
由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.
【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可．
7.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由
，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，
有，
又由在上单调递增，则有，故选C.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．
8.函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，
故选B.
考点：函数的图象.
9.下列五个命题中真命题的个数是（ ）
（1）若是奇函数，则的图像关于轴对称；
（2）若，则；
（3）若函数对任意满足，则8是函数的一个周期；
（4）命题“存在，”的否定是“任意，”；
（5）已知函数，若，则.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数奇偶性的性质判断①；由对数函数的性质结合不等式判断②；由已知求出函数的周期判断③；写出命题的否定判断④；由函数的奇偶性及单调性即可判断⑤．
【详解】解：①若是奇函数，则是偶函数，其图象关于轴对称，故①正确；
②若，则，，则，故②错误；
③若函数对任意满足，则，
，则8是函数的一个周期，故③正确；
④命题“存在，”的否定是“任意，”，故④错误．
⑤因为，所以，即为奇函数，且恒成立，故在定义域上单调递增，若，即，
所以，所以，故⑤正确；
真命题的个数是3个．
故选：．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查函数的性质，属于中档题．
10.已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A. 的图像关于点中心对称 B. 的图像关于直线对称
C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数
【答案】C
【解析】
试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；
对于选项，
只需考虑是否成立即可，
而，故正确；
对于选项，
，
故是奇函数，有，故周期是，故正确；
对于选项，
，
令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.
考点：1.三角函数的对称性、周期性、奇偶性；2.函数的最值求解.
11.若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式为，利用函数平移法则可得，由奇偶性可得，从而可得结果.
【详解】化简函数
，
向左平移个单位可得，
因为是偶函数，
，，
由可得
的最小正值是，故选A.
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及三角函数图象的“平移变换”法则，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2） 时，是偶函数.
12.已知函数导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由导函数为偶函数，得出，由，得出，将问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围．
【详解】，，
导函数的对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，
，令，即，得.
问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围．
，令，得，列表如下：
极大值
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，，
又，，显然，，如下图所示：
结合图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡上.
13.若，则__________．
【答案】3
【解析】
， ，则.
14.已知是上的增函数，那么实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，当时，为增函数，则，解得，当时，为增函数，则，又由函数是上的增函数，则当时，，解得，综上所述，实数的取值范围是.
考点：函数的单调性及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性及其应用，其中解答中涉及到分段的解析式，一次函数的单调性、对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记一次函数和对数函数的单调性，以及分段函数的单调性的判断方法是解答的关键，试题属于中档试题.
15.已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：（1）；（2）对任意都有；（3）时，则______；不等式的解集为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
给已知中的等式中的，都赋值3求出；给，都赋值求出．
再证明函数的单调性，利用函数单调性的定义证明，只要将，利用已知中的等式及时，函数值的符号证出．）将不等式中的用代替；利用已知等式将用一个函数值代替，利用函数的单调性脱去，求出不等式的解集．
详解】解：令得，
，
令得，
设，，
当时，，
则，
在上为减函数．
因为，
所以
所以
不等式等价于，解得，即．
故答案为：；.
【点睛】本题考查求抽象函数的函数值常用的方法是赋值法、判断抽象函数的单调性常用的方法是函数单调性的定义、利用函数单调性解抽象不等式首先要将不等式写出的形式，属于中档题．
16.已知函数若的两个零点分别为，则__________．
【答案】
【解析】
由，
所以令得：，
所以直线和曲线 的交点横坐标，
直线和曲线的交点横坐标为，
如图，两曲线关于对称，直线和关于对称；
所以；
所以．
考点：函数的零点问题．
点睛：本题考查了函数的零点问题，其中解答中涉及知识函数与对数函数的图象与性质，函数零点的概念，两条直线的位置关系等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中正确作出函数的图象是解答问题的关键．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17.已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求的取值范围;
【答案】（1）（2）m≤0
【解析】
分析】
（1）换元，令，将函数转化为关于的二次函数，由二次函数的性质，
即可求得函数的值域；
（2）换元，令，将不等式转化为含参的一元二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将其再转化为求函数的最值，即可求出．
【详解】（1）因为，令，因为，所以，
此时，．，∵∴
所以函数的值域为；
（2）对于对于x∈[4，16]恒成立，令，
即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，∴对恒成立．
由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，
∴g（t）min＝g（1）＝0，∴m≤0．
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质、二次函数值域的求解，一元二次不等式恒成立问题的解法等，解题关键是通过换元将含对数式的函数转化为二次函数，含对数式的不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，意在考查学生的转化与化归以及数学运算能力．
18.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，直线过定点且倾斜角为，交曲线于两点．
（1）把曲线化成直角坐标方程，并求的值；
（2）若，，成等比数列，求直线的倾斜角．
【答案】(1) 答案见解析 (2) 或
【解析】
【分析】
（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|；
（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．
【详解】解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，
∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．
由ρcosθ=1得x=1，
由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．
（2）直线l的参数方程为：(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，
得t2sin2α-4tcosα-8=0，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
则t1+t2=，t1t2=-，
因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，
∴|PA||PB|=|MN|2=16，
∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，
∴=16，∴sin2α=，
∵0≤α＜π，
∴sinα=，
∴α=或α=．
【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与抛物线相交的问题时，有时利用直线参数方程的几何意义能优化运算过程，解题时应灵活应用．
19.已知函数，关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
(1)直接对不等式化简得，然后对比它的解集，即可求出m.
(2)直接利用柯西不等式化简．
详解】（1），由题意，
故．
（2）由（1）可得，
由柯西不等式可得，
所以.
当且仅当，即，，时等号成立，
最小值为．
【点睛】本题考查解绝对值不等式和柯西不等式，属于中档题．
20.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，且，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得角；
（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以由，
即，由正弦定理得，
即，∵，
∴，即，
∵，∴，∴，∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴ .
21.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）最大值为；（2）实数的取值范围是．
【解析】
【分析】
(1)求得函数定义域和函数导数,将代入函数的导数,利用导数值为解方程求得的值.再根据函数的单调性求出函数在区间上的最大值.(2)对函数求导后,对分成,两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，，
，∴
在上，单调递减，在上，单调递增，
所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，.
当时，在的最大值为
（2）由于
①当时，，是增函数，
且当时，
当时，，
，取，则，
所以函数存在零点
②时，，.在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以时取最小值.解得
综上所述：所求的实数的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查利用函数的导数研究函数的极值和最值,考查利用导数研究函数的零点,以此求得参数的取值范围.根据函数在某点处取得极值,可转化为在这点的导数为零,要注意验证在导数零点左右两侧的调性,若两边单调性相同,这该点不是函数的极值点.函数的极值点必须满足左减右增或者左增右减.
22.已知函数，且直线是函数的一条切线.
（1）求的值；
（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；
（3）已知方程有两个根，若，求证:.
【答案】(1) ;(2) ;(3) 详见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）对函数求导，，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得，
，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得，，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明.
试题解析：(1)设直线与相切于点，依题意得，解得，所以，经检验：符合题意.
(2) 由（1）得，所以，当，时，，所以在上单调递减，所以当时，
，，当时，，所以在上单调递增，所以当时，
，依题意得 ，所以，解得.
(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为，即，令，则，则，令，因为，所以在上单调递增，所以，所以，即.