数学理卷·2017届山西省平遥县高三下学期4月质量检测（2017 8页

平遥县 2017 年 4 月高三质检 数学试题（理科） 本试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人：王艳杰、王永专 一、 选择题（每题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知复数 满足 ，则 =（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等关系式正确的是 A． B． C． D． 4．设 是等比数列{ }的前 n 项和， ，则公比 q=（ ） A、 B、 C、1 或 D、1 或 5．函数 的图象大致为（ ） 6．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．1 B．0 C． D．4 7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬 币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着.那么, 没有相邻 的两个人站起来的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） 8.已知锐角 的终边上一点 （ ， ），则 等于（ ） 2{ | 2 3 0}A x x x= − − ≤ { | ln(2 )}B x y x= = − A B = (1,3) (1,3] [ 1,2)− ( 1,2)− z izi i 431 1 +=⋅− + z 62 7 25 5 5 5 4 41.5 1.7> 43 344 4( ) ( )3 3 > 1 1 2 2( 2) ( 3) − −> 3 1 2 2(0.7) (0.7)> 2 lny x x= + n nS 4 4S = − 6 6S = 5S = 2− 1 2 5 16 7 16 11 16 α P sin 40° 1 cos40+ ° α A． B． C． D． 9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为 （ ） A．4 B． C． D．8 10 ． 已 知 直 线 与 抛 物 线 交 于 两 点 , 点 满 足 ,则 （ ） A． B． C． D． 11 ． 已 知 ， 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 函 数 的图象，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 12．已知定义在（0， ）上的函数 ,若一族平行线 x= 分别与 f（x）图象的交点为 ，且 成等比数列，其中 i=1,2，…，n，则 =（ ） A．2n B.1 C. D. 二、 填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在 轴上，若双曲线 C 的一条 渐近线与直线 平行，则双曲线 C 的离心率为（ ） 14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）： “幂势既同，则积不容 异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是： 如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等， 类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 1 是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个上底为 l 的梯形，且当实数 t 取[0，3]上的任意值时，直线 y=t 被图 l 和图 2 所截得的 两线段长始终相等，则图 l 的面积为 . 10° 20° 70° 80° 20 3 26 3 ( ): 2l y k x= − 2: 8C y x= ,A B ( )2,4M − MA MB⊥ AB = 6 8 10 16 0ω > ( ) cosf x xω= 2 π ( ) sin 4g x x πω = −   ω 3 2 3 4 3 2 3 1 n i i y n = ∑ 1 2 15.已知半径为 1 的球 内切于正四面体 ，线段 是球 的一条动直径 是直径的两端点),点 是正四面体 的表面上的一个动点,则 的取值范 围是 16．已知函数 的两个零点分别为 、 ，则 ________． 三、 解答题（共 70 分） 17．（12分）在 中, 内角A,B,C的对边分别为 且. （1）求角A的大小；（2）若 的面积为 ,且, 求 . 18．（12 分）如图所示，已知正六边形 ABCDEF 的 边长为 2，O 为它的中心，将它沿对角线 FC 折 叠，使平面 ABCF⊥平面 FCDE，点 G 是边 AB 的中 点. 　（Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求二面角 O－EG－F 的余弦值； 19.(12 分)持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气 的重要因素之一，为了贯彻落实国务院关于培养战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署 和要求，中央财政安排专项资金，支持开展私人购买新能源汽车补贴试点。2017 年国家又 出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如 下： 某课题组从汽车市场上随机选取了 20 辆纯电动乘用车，根据其续驶里程 R（单次充电后能 行驶的最大里程，R [100,300]）进行如下分组：第一组[100,150),第二组[150,200)，第三组 [200,250)，第四组[250,300]，制成如图所示的频率分 布直方图。已知第一组与第三组的频率之比为 1:4， 第二组的频数为 7. （I）请根据频率分布直方图统计这 20 辆纯电动乘用 车的平均续驶里程； （II）若以频率作为概率，设 为购买一辆纯电动乘 用车获得的补贴，求 的分布列和数学期望 E（ ） 纯电动续驶里程 R（公里） 100 150 R 补贴标准（万元／辆） 2 3.6 4.4 O A BCD− MN O ( ,M N P A BCD− PM PN+  2( ) 2 sin( ) 12f x x x x π= − + m ( )n m n< 21n m x dx− =∫ , ,a b c 2 2 cosc a B b− = 3 4 2 2cos 4c ab C a+ + = a BFD ⊥ EGO GA B F E D BA F E D O C CO 20.(12 分)已知椭圆 ： 的离心率为 ， 、 分别是椭圆的 左、右焦点， 为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且 的周长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 与椭圆 交于 、 两点，点 满足 （ 为 原点），求四边形 面积的最大值． 21.(12 分)已知函数 f (x)＝alnx＋1 2x2－ax (a 为常数)． （Ⅰ）试讨论 f (x)的单调性； （Ⅱ）若 f (x)有两个极值点分别为 x1,x2.不等式 f (x1)＋f (x2) ＜λ(x1＋x2)恒成立,求 λ 的最小 值 22. （10 分）选修 ：坐标系与参数方程 已知直线 的参数方程是 （ 为参数）中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 （I）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （II）设直线 与曲线 相交于 , 两点，求 的值. 23. （10 分）选修 ：不等式选讲 已知函数 （I）若 ，求实数 的取值范围； （II）若 ， ，求证： . 平遥县 2017 年 4 月高三质检 数学答案（理科） 四、 选择题（每题 5 分，共 60 分） C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 1F 2F M 1 2MF F∆ 4 2 3+ C )2,0( −D l C A B N OBOAON += O OANB 4 4− l 31 2 1 2 x t y t  = − +  = t x C 4cosρ θ= l C l C P Q PQ 4 5− ( ) 1 2f x x a x a= + − + − ( )1 3f < a 1a ≥ x R∈ ( ) 2f x ≥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A B D B C C B D A A 五、 填空题（每题 5 分，共 20 分） 13． 14． 15.[2,6] 16． 六、 解答题（共 70 分） 17． 根据正弦定理得 …2分 .....................5分 又 (0, ) .....................6分 （2） ①,由余弦定理得 ………7分 代入①得 ,又由余弦定理 (8分) …………………12分 18．（Ⅰ）证明： 是正六边形 的中心， ，. 因为平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 . 因为 平面 ，所以 . ……2 分 因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 . ……..4 分 因为 平面 ，所以 平面 平面 .（5 分） （Ⅱ）解：取 的中点 H，则 .分别以边 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系 由 得 ， ， ， ，………6 分 则 ， ， . 2 2 3 9 2 2 π 2 2 cosc a B b− = 2sin 2sin cos sinC A B B− = sinsin sin( ) sin cos sin cos sin 2 BC A B A B codA B A B= + = + ∴ = 1sin 0 cos 2B A≠ ∴ = A∈ π 3A π∴ = 2 2cos 4c ab C a+ + = 2 2 2 cos 2 a b cab C + −= 2 2 28 3b c a+ = − 2 2 2 2 22 cosa b c b A b c bc= + − = + − 1 3 7sin 12 4 2ABCS bc A bc a= = ∴ = ∴ =  O ABCDEF OE FD⊥ ABCF ⊥ FCDE ABCF  FCDE FC= GO ⊂ ABCF GO ⊥ FCDE DF ⊂ FCDE GO DF⊥ EO ⊂ EOG GO ⊂ EOG EO GO O= DF ⊥ EGO DF ⊂ DFB BFD ⊥ EGO DE OH FC⊥ , ,OG OC OH , ,x y z 2AB = ( 3,0,0)G (0,1, 3)D (0, 1, 3)E − (0, 2,0)F − (0,3, 0)FD = (0,1, 3)FE = ( 3,2,0)FG = x y z H 由（Ⅰ）知： 平面 .所以 平面 的一个法向量为 ….8 分 设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 ， .所以 . ……………11 分 所以 二面角 的余弦值为 .……………12 分 19. 20. 的 周 长 是 （2）∵ ，∴四边形 为平行四边形， 显然直线 的斜率存在，设 的方程为 ， 把 代入 得 ， 由 得 ， ∴ ， ，………………………6 分 ∵ ∴ DF ⊥ EGO EGO (0,3, 3)FD = EFG ( , , )m x y z= 0, 0, m FE m FG  ⋅ = ⋅ =     3 0, 3 2 0. y z x y  + = + = 3y = 1z = − 2x = − ( 2, 3, 1)m = − − O EG F− − ( 2, 3, 1) (0,3, 3) 2 44 3 1 0 9 3 − − ⋅ = + + ⋅ + + 1 2 3 2 ce MF Fa = =  2 2 4 2 3,a c+ = + 2 22 3 2, 3 4, 1a c a c a b∴ + = + ∴ = = ∴ = = 2 2 1...........................44 x y+ = OBOAON += OANB l l ),(),,(,2 2211 yxByxAkxy −= 2−= kxy 14 2 2 =+ yx 01216)41( 22 =+−+ kxxk 0)41(4816 222 >+−=∆ kk 4 32 >k 221 41 16 k kxx +=+ 221 41 12 kxx += ||||||2 1 2121 xxxxODS OAB −=−⋅=∆ 21 2 2121 4)(2||22 xxxxxxSS OABOANB −+=−== ∆ = ，………………………8 分 令 ，∴ ， ∴ …………………10 分 当且仅当 ，即 时取等号，∴ ，…………………12 分 21．解：（Ⅰ）f′(x)＝a x ＋x－a＝x2－ax＋a x (x>0)， ①当 a＜0 时，解 f′(x)＝0 得，x＝ , f(x)的单调减区间为(0， ),单调增区间为( ，+∞)； …2 分 ②当 0≤a≤4 时，x2－ax＋a＝0 的 Δ＝a2－4a≤0， 所以 f′(x)≥0，f(x)的增区间为(0,+∞),无减区间； ……………4 分 ③当 a＞4 时，Δ＝a2－4a＞0，解 f′(x)＝0 得，x1,2＝ , f(x)的单调增区间为(0， ), ( ，+∞)， 单调减区间为( ， ).………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f(x)有两个极值点时，设为 x1，x2，则 a＞4，x1＋x2＝a ,x1x2＝a 故 f(x1)＋f(x2)＝alnx1＋1 2x21－a x1＋alnx2＋1 2x22－ax2＝aln(x1x2)＋1 2(x21＋x22)－a(x1＋x2) ＝aln(x1x2)＋1 2 (x1＋x2)2－x1x2－a(x1＋x2)＝a(ln a－1 2a－1) 于是f(x1)＋f(x2) x1＋x2 ＝lna－1 2a－1，a∈(4，＋∞). ……………9 分 令 φ(a)＝lna－1 2a－1，则 φ′(a)＝1 a－1 2. 因为 a>4，所以 φ′(a) ＜0.于是 φ(a)＝lna－1 2a－1 在(4，＋∞)上单调递减． 因此f (x1)＋f (x2) x1＋x2 ＝φ(a) ＜φ(4)＝ln4－3. 且f (x1)＋f (x2) x1＋x2 可无限接近 ln4－3. 22 2 2 2 2 )41( 34841 124)41 16(2 k k kk k + −=+−+ 034 2 >−= kt 24 3k t= + 216 18168 18)4(8 2 =≤ ++ =+= ttt tSOANB 4=t 2 7±=k 2)( max =OANBS 2 4 2 a a a+ − 2 4 2 a a a+ − 2 4 2 a a a+ − 2 4 2 a a a± − 2 4 2 a a a− − 2 4 2 a a a+ − 2 4 2 a a a− − 2 4 2 a a a+ − 又因为 x1＋x2>0，故不等式 f (x1)＋f (x2) ＜λ(x1＋x2)等价于f (x1)＋f (x2) x1＋x2 ＜λ. 所以 λ 的最小值为 ln4－3. ………………12 分 22 .（I）直线 的普通方程: 曲线 的直角坐标方程: ………5 分 （II）将 代入 得 ， 设 , 两点的参数分别为 , ，则 ， ， 从而有 ……10 分 23.（I）由题意有 ， 当 时， ，解 得 ，所以 当 时， ，解 得 ，所以 当 时， ，解 得 ，所以 综上，实数 的取值范围是 ………5 分 （II）当 ， 时，由绝对值三角不等式有 ………10 分 l 3 1 0x y− + = C ( )2 22 4x y− + = 31 2 1 2 x t y t  = − +  = ( )2 22 4x y− + = 2 3 3 5 0t t− + = P Q 1t 2t 1 2 3 3t t+ = 1 2 5t t⋅ = ( )2 1 2 1 2 1 24 7PQ t t t t t t= − = + − = ( )1 2 1f a a= + − 0a ≤ ( )1 1 2 1 3f a a a= + − = − ( )1 3f < 2 3a > − 2 03 a− < ≤ 10 2a< ≤ ( )1 1 2 1f a a a= + − = − ( )1 3f < 2a > − 10 2a< ≤ 1 2a > ( )1 1 2 3 1f a a a= + − = − ( )1 3f < 4 3a < 1 4 2 3a< < a 2 4,3 3  −   1a ≥ x R∈ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 3 1 2f x x a x a x a a x a a= + − + − ≥ + − + − = − = − ≥