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- 2021-06-20 发布
【真题回放】
1．【2017课标3理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是 （ ）
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【考点解读】本题考查了函数的图象的具体运用，体会函数图像的实际应用。为基础题。
2.【2017课标2理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】 塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由可得。
【考点解读】本题以数学传统文化为载体，考查了等比数列（特殊的函数）求和。让学生体会数学的实际应用及数学文化。为基础题。
3.【2017北京高考理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
【答案】D
【考点解读】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算，
及指数与对数运算的关系，难点是时，两边取对数，对数运算公式包含
，，
.
4.【2017江苏高考理10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是
【答案】30
【解析】解法一；总费用，当且仅当，
即时等号成立.
解法二；总费用， 求导，
当
【考点解读】本题综合考查了函数建模能力，解法上即可运用基本不等式求解，也可运用导数求得最小值。
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
函数模型的应用
B
函数模型及其综合应用函数，体现了数学抽象和数学建模两种核心素养。这部分内容要求学生掌握常见的指数函数、对数函数、幂函数等函数模型，并体会函数模型在生活中的具体运用。解决问题中要培养学生针对问题建立数学模型，再运用数学知识求解模型，提升应用能力。
融会贯通
题型一 一次函数、二次函数模型
典例1. （1）(2017宝鸡一中高一期末) 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元 C．30元 D.元
【答案】 A
（2）（2017云南昆明高一月考）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(即税率为x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )
A．2 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解析】依题意，有(100－10x)×70×≥112，所以2≤x≤8。
（3）(2016银川一中高三月考)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）(千件).
解题技巧与方法总结
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
解决此类问题应注意三点：
（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，
否则极易出错．
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
【变式训练】
（1）（2017四川南充一中期末）下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为（ ）
A．2.2米 B.4.4米 C.2.4米 D.4米
【答案】B
【解析】如图以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，得抛物线方程为
则当水面下降0.42 米时， ，此时水面宽度为4.4 米。
（2）（2017宝鸡三校联考）某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A． B． C．％，8％] D．％，100％]
【答案】A
【解析】根据题意得，要使附加税不少于128万元，需%，
整理得，解得，即．
（3）（2017湖北襄阳高三模拟）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时)
f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【答案】（1）见解析；（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大3333辆/小时．
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
知识链接：
知识点1 . 几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
题型二 指数与对数函数模型
典例2. （1）（2017南昌一中高一期末）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）天.
A. B. C. D.
【答案】C
（2）（2017哈尔滨模拟）抽气机每次抽出容器内空气的50%，则至少要抽__________次才能使容器内剩下的空气少于原来的0.1%．（参考数据：）
【答案】10
【解析】 设至少抽n次，则由题意 即：， 两边取对数得，，即，∴即至少要抽10次.
（3）（2017广州模拟）候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
【答案】（1） （2） 270
(4)（2017兰州模拟）已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是
θ＝m·2t＋21－t(t≥0且m>0)．
①如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；
②若物体的温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．
【答案】① 经过1 min ② .
【解析】①若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，当θ＝5时，2t＋＝，
令2t＝x≥1，则x＋＝，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，
∴2t＝2，即t＝1，∴经过1 min，物体的温度为5 ℃.
② 物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，即m·2t＋≥2恒成立，
亦即m≥2恒成立．令＝x，则01)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x
随x
随n
的增大逐渐表现为与y轴平行
的增大逐渐表现为与x轴平行
值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
①该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
②当x>0时，x＝时取最小值2，当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．必知联系
关注实际问题的自变量的取值范围，分清与函数定义域的区别与联系，合理确定函数的定义域．
课本典例解析与变式
例1.【必修1第九十五页例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？
【原题解读】题中给出了一个现实情境，需要根据题意建立对应的函数模型，并通过对三种函数增长情况的比较（比较采用了表格，函数图象），从而做出合理的决定。同时让我们感受到三种函数，常函数，一次函数和指数型函数增长快慢差异明显。体会到数学的应用价值。
变式1. (2017届宁夏银川一中期末)某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？
【答案】促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.
答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.
变式2. (2016福州外国语学校高一期末)国庆黄金周及其前后是旅游旺季.某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入与这20天中的第天的部分数据如下表：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述与的变化关系：，
，，，并求出该函数的解析式；
（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入.
【答案】（1），；（2）或时，取得最大值万元．
变式3. (2016兰州模拟)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收
益是多少万元？
【答案】（1）；（2）即时，收益最大3 万元．
【解析】（1）设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为；
由已知得；，所以
（2）设投资债券产品为万元，则投资股票类产品为万元，
依题意得；
令；则；
所以当，即时，收益最大3 万元
【课本回眸反思】
1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；
2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；
3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。
练习检测
1．(2017湖北鄂东南联盟学校高一期末) 有一组科学实验数据如下表所示:
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据实验数据第一组，选项A，C，D显然不满足，故本题正确答案为B.
考点：函数模型及其应用.
2.（2017宁夏石嘴山中学模拟）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、
乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水
不出水，则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】 A
考点：函数图像及其应用.
3.（2017江西省南昌高三一模）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱.
A. 28 B. 32 C. 56 D. 70
【答案】B
【解析】设甲乙丙各有x,y,z钱，则有x+y2+z2=90,x2+y+z2=70,x2+y2+z=56, 解得x=72,y=32,z=4，选B.
考点：函数模型及其应用.
4.（2017学年湖南长沙一中模拟）某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件元，年销售量为万件，从第二年开始，商场对种产品征收销售额的的管理费（即销售元要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的管理费不少于万元，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：函数的应用.
5.（2017甘肃白银一中月考）某公司发布的2015年度财务报告显示，该公司在去年第一季度、第二季度的营业额每季度均比上季度下跌10%，第三季度、第四季度的营业额每季度均比上季度上涨10%，则该公司在去年整年的营业额变化情况是（ ）
A.下跌 B.上涨 C.不涨也不跌 D.不确定
【答案】A
【解析】设营业额基数为，所以整年的营业额为，即营业额下跌
考点：函数模型及其应用.
6.（2017四川成都六校协作体模拟）定义区间、、、的长度均为，用表示不超过的最大整数，例如，.记，设，，若用表示不等式解集区间长度，则当时有（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
考点：函数模型及应用.
7．（2017河南省偃师市高级中学期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分， 先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1（干元）、乙厂的总费用y2（千元）与印制证书数量 x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示．
（l）甲厂的制版费为____千元，印刷费为平均每个 元，甲厂的费用yl与证书数量x之间的函数关系为 ，
（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个____ 元；
（3）当印制证书数量超过2干个时，求乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 ；
（4）若该单位需印制证书数量为8干个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由
【答案】（1）1；0.5；y=0．5x+1（2）1.5（3）（4） 选择乙厂更节省费用
【解析】（1）印刷量为0时费用为1千元，因此制版费为1千元；图像过点，所以印刷2千时，
费用为1千，因此平均费用为0.5；由函数过点
，因此方程为y=0.5x+1；
（2）印刷量为2千时费用为3千，因此平均费用为1.5
（3）设y2=kx+b， 由图可知，当x=6时，y2=y1=0．5×6+1=4，所以函数图象经过点（2,3）和（6,4）
所以把（2,3）和（6,4）代入y2=kx+b，得，
解得，所以y2与x之间的函数关系式为 ．
（4）由图象可知，当x=8时，y1>y2，因此该单位选择乙厂更节省费用．
（求出当x=8时，y1和y2的值，用比较大小的方法得到结论也正确）
考点：函数图像及其应用
8.（2017四川南充一中高一期末）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
【答案】 24
【解析】 由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k
＝1 92(e11k)2，∴e11k＝设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
考点：指数型函数模型及其应用
9.（2017北京大兴一模）国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4
000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元
【答案】 3 800
考点：分段函数模型及其应用
10.（2017广州模拟）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(00，当5