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- 2021-06-20 发布
【训练目标】
1、 掌握极坐标与直角坐标的转换公式及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数方程转化为普通方程；
2、 理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题；
3、 掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义；
4、 掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。
5、 理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式；
6、 掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式；
7、 掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题；
8、 初步掌握综合法和分析法证明不等式。
【温馨小提示】
高考中极坐标与参数方程、绝对值不等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共10分，属于容易题，必拿分题。题目的类型并不多，平时做题时多总结即可。
【名校试题荟萃】
1、在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线。
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.
【答案】（1）， （2）
【解析】
（1）由消去得,
所以直线的普通方程为.
由,
得.
将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为,即.
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
法2:设与直线平行的直线为,
当直线与圆相切时,得,
解得或（舍去）,
所以直线的方程为.
所以直线与直线的距离为.
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
2、在直角坐标系中，曲线：（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（1）写出曲线和的普通方程；
（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标．
【答案】
（1）， （2）
此时，，结合可解得：，，
即所求的坐标为．
3、在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为：，：．
（1）求曲线、的普通方程；
（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
（1）曲线的普通方程为：，
当，时，曲线的普通方程为：，
当，时，曲线的普通方程为：；
（或曲线：）
4、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线的交点为是曲线上的动点，求面积的最大值．
【答案】（1）， （2）
【解析】
（1）由消去得，所以直线的普通方程为，
由＝，得，
化为直角坐标方程得：，所以曲线的直角坐标方程为
.
5、已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）由得.
∵
∴曲线C的直角坐标方程为：.
（2）将直线的参数方程代入圆的方程
化简得. 设A,B两点对应的参数分别为，则是上述方程的两根，则有
. ∴
∴
∵∴.
6、已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求的值．
【答案】
（1），
（2）
（2）将代入曲线C的极坐标方程得，
∴A点的极坐标为．
将代入直线l的极坐标方程得，解得．
∴B点的极坐标为，
∴．
7、平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．
【答案】
（1），
（2）
将其代入曲线的直角坐标方程可得，
设点，对应的参数分别为，．
由一元二次方程的根与系数的关系知，．
∴．
8、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝
α与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝时，|OB|＝4.
（1）求a，b的值；
（2）求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．
【答案】（1）1，2 （2）4＋4
化为普通方程为x2＋（y－b）2＝b2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ，
由题意可得当θ＝时，|OB|＝ρ＝4，∴b＝2.
（2）由（Ⅰ）可得C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ.
∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4
＝4sin＋4，
∵2θ＋∈，∴4sin＋4的最大值为4＋4，
当2θ＋＝，θ＝时取到最大值.
9、已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2），，求的取值范围．
【答案】（1） （2）．
【解析】
（1）当时，，
①当时，，
令，即，解得，
②当时，，显然成立，∴，
③当时，，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2）∵，
∵，有成立，∴只需，解得，
∴的取值范围为．
10、已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1） 解集为 （2） 实数的取值范围是.
（2）设，则.
因为当且仅当时取等号，
所以.
因为函数的值域为，
所以有解，即.
因为，所以，即.
所以实数的取值范围是
11、已知不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
12、已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）当时，由，可得，
①或②或③
解①得：
解②得：
解③得：
综上所述，不等式的解集为
（2）若当时，成立，
即
故
即
对时成立
故
13、已知函数．
（1）解不等式
（2）若对任意的，任意的，使得成立，求实数a的取值范围
【答案】（1） （2）或
14、已知
（1）当a＝—1，b＝2时，解不等式f（x）≥0；
（2）若存在a，b的值，使不等式m成立，求实数m的最小值．
【答案】（1） （2）-2
【解析】
（1），
解得．
（2）由得
，
故，当且时取等号．
故．∴m的最小值为．
15、设，.
（1）若的最大值为，解关于的不等式；
（2）若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）
16、在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称．
（1）以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的极坐标方程；
（2）设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,，求+的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，
则，即曲线的极坐标方程为。
（2）由曲线的极坐标方程为得直角坐标方程为，设
，
直线与直线的直角坐标方程分别为，
从而
，
故的最小值为。
17、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点，与的交点为，求的最大值.
【答案】（1） （2）
（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，
化简得，①
可得，故与同号
，
所以时，有最大值. 此时方程①的，故有最大值.
18、已知函数（ ）.
（1）当时，解不等式；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）{x|0≤x≤} （2）[2，＋∞）.
（2）①若a＞1，f（x）＝（a－1）|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2.
②若a＝1，f（x）＝2|x－1|，f（1）＝0＜1，不合题意.
③若0＜a＜1，f（x）＝a|x－1|＋a|x－a|＋（1－a）|x－a|≥a（1－a），
当且仅当x＝a时，取等号，故只需a（1－a）≥1，这与0＜a＜1矛盾.
综上所述， a的取值范围是[2，＋∞）.
19、已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.
【答案】（1） （2）或或.
【解析】
（1）由，得：，∴，即，
∴曲线的直角坐标方程为.
由，得，即，
∴直线的普通方程为.
，解得：或，都符合，因此实数的值为或或.
20、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为
.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和圆的极坐标方程；
（2）若射线与的交点为，与圆的交点为，，且点恰好为线段的中点，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）在直线的参数方程中消去，可得，，
将，代入以上方程中，
所以，直线的极坐标方程为.
同理，圆的极坐标方程为.
把代入，得，
所以.
21、已知函数f（x）＝|x－1|.
（1） 解不等式f（2x）＋f（x＋4）≥8；
（2） 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证： ＞.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
（Ⅰ）f（2x）＋f（x＋4）＝|2x－1|＋|x＋3|＝
当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；
当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；
当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.
所以不等式f（2x）＋f（x＋4）≥8的解集为.
（II）证明：＞等价于f（ab）＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|.
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝（a2b2－2ab＋1）－（a2－2ab＋b2）＝（a2－1）（b2－1）＞0，
所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．……………10分
22、已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，设，且，求证：．
【答案】（1） （2）见解析
23、已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；
（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）{x|x≤－5或x＝1} （2）[－1，3]
【解析】
（1）当a＝2时，，
当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；
当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈∅；
当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．
24、已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）.
【解析】
（1）直线的一般方程为，
曲线的直角坐标方程为.
因为，所以直线和曲线相切.
25、已知函数的定义域为；
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，
求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）由题意可知恒成立，令，
去绝对值可得：，
画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为；
（2）由（1）可知，所以，
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为.
26、已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
（2）因为的解集包含不等式可化为
解得，由已知得，
解得，所以的取值范围是.
27、在极坐标系中， 已知圆C的圆心C（）， 半径r =．
（1） 求圆C的极坐标方程；
（2） 若 α ∈ ， 直线的参数方程为为参数）， 直线交圆C于A、 B两点， 求弦长|AB|的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）由得，直角坐标,所以圆的直角坐标方程为, 由
得，圆的极坐标方程为