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- 2021-06-20 发布
福建省厦门第一中学2017届高三12月月考
理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数满足，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4.“”是“直线：与：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①②③④其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
6.在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.已知实数，满足不等式组，若目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.对于给定的任意实数与，直线：与圆：位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相离 D．相交或相切
9.公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10.在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
11.已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数则使得成立的的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，且，则的值____________．
14.已知双曲线（，）的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为____________．
15.若函数（，）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为____________．
16.已知正数，满足，则的取值范围是____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）已知直线的参数方程为（为参数，，且），圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程为
（为参数）．
（Ⅰ）当直线与圆相切时，求；
（Ⅱ）求圆与圆公共弦所在的直线方程．
18.（本题满分12分）设为各项不相等的等差数列的前项和，已知，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求的最小值．
19.（本题满分12分）如图，在梯形中，，四边形是矩形，平面平面，，，点在线段上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅲ）当为何值时，平面？证明你的结论．
20.（本题满分12分）在中，内角，，的对边分别是，，（），已知，，成等比数列，且．
（Ⅰ）若，求的周长；
（Ⅱ）求证：为定值．
21.（本题满分12分）已知、、是椭圆：（
）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，，设为椭圆与轴负半轴的交点，且，求实数的取值范围．
22.（本题满分12分）已知常数，函数．
（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；
（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
12．依题，为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，
故选择．
二、填空题
13. 14. 15. 16.
16．
，当
故，解得，
其中当取得最小，当取得最大．
三、解答题
17.解：（Ⅰ）直线的普通方程为，其中，
圆的普通方程为，…………2分
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离
，…………4分
即，所以或．…………5分
（Ⅱ）因为圆的普通方程为①，
圆的普通方程为②，…………7分
解得（舍去）或，．………6分
（Ⅱ）因为，…………7分
所以
…9分
．…………11分
当且仅当，即时“”成立，即当时，取得最大值．…………12分
19.解：（Ⅰ）在梯形中，，，
四边形是等腰梯形，且，
，，又平面平面，交线为，平面．…………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以点为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设面的法向量为，，即，
取得
又面的一个法向量为，…………6分
，
所以二面角的余弦值为．…………8分
（Ⅲ）当时，平面，
在梯形中，设，连接，则…………9分
，而，，
四边形是平行四边形，
又平面，平面平面．…………12分
20.解：（Ⅰ）由得，由可得，因为，，成等比数列，所以，所以．…………2分
由余弦定理得
，，…………5分
的周长为．…………6分
（Ⅱ）由余弦定理可知：，
又，所以，
又，所以．…………8分
又，于是．…………12分
21.解：（Ⅰ），且过，则．
，，即．…………5分
又，设椭圆的方程为．
将点坐标代入得，解得，．
椭圆的方程为．…………5分
（Ⅱ）由条件，当时，显然；…………6分
当时，设：，，消得
由可得，……①…………7分
设，，中点，则，
，．…………8分
由，，即，，
化简得……② …………10分
将②代入①得，．…………11分
综上知，所求的取值范围是．…………12分
22.解：（Ⅰ）．（）…………1分
当时，，此时，在区间上单调递增．…………3分
当时，由得（舍去）．
当时，；当时，．
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增．…………5分
（Ⅱ）由（）式知，当时，，
此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有．
又的极值点只可能是和，且由的定义可知，
且，所以，，
解得，此时，由（）式易知，，分别是的极小值点和极大值点…………6分
而
．…………7分
令，．
（ⅰ）当即时，，所以，
因此，在区间上单调递减，
从而，故当时，．…………9分
（ⅱ）当即时，
，所以，因此，在区间上单调递减，
从而，故当时，．…………11分
综上所述，满足条件的的取值范围为．…………12分