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- 2021-06-20 发布
哈尔滨市第六中学校 2017-2018 学年度上学期期末考试
高三理科数学
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试
时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字
体工整, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上
答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．若向量 ， ， ，则 、 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A．5 B．9 C． D．10
5．椭圆 上的一点 关于原点的对称点为 ， 为它的右焦点，若 ，
则 的面积是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．
6．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线
的准线交于 ， 两点，
，则 的实轴长为（ ）
A． B．
C．4 D．8
8．如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则该几何体的表面积为（ ）
A．96 B．
C． D．
9．已知圆 方程为 ，若 ： ；
：圆 上至多有 3 个点到直线 的距离为 1，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知数列 满足 （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
11．三棱锥 中， ， ， ， ，
则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．设 是函数 定义域内的一个区间，若存在 ，使 ，则称
是 的
一 个 “ 次 不 动 点 ” ， 也 称 在 区 间 上 存 在 “ 次 不 动 点 ” ， 若 函 数
在区间
上存在“次不动点”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
本试卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．若直线 与 垂直，
则实数 的值是____________.
14．已知 为虚数单位，复数 （ ），若 ，则 为
____________.
15．点 是抛物线 上一动点，则点 到点 的距离与到直线 的距离
和的最小值
是____________.
16．如图所示，在棱长为 的正方体 中，
点 分别是棱 的中点，过 三点作该正方体的
截面，则截面的周长为____________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（本小题满分 12 分）如图所示，在 中, 点 为 边上一点，且
, 为 的中
点, .
（1）求 的长；
（2）求 的面积.
18.（本小题满分 12 分）已知首项为 的等比数列 的前 n 项和为 ，且
成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ．
19.（本小题满分 12 分）如图，正方形 的边长为 ， 分别为 的中点，
将正方形
沿着线段 折起，使得 ，设 为 的中点.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．（ 本 小 题满 分 12 分 ）已 知椭 圆 的 一个 焦点 与抛 物线
的焦点 重合，且点 到直线
的距离为 ， 与 的公共弦长为
.
（1）求椭圆 的方程及点 的坐标；
（2）过点 的直线 与 交于 两点，与 交于 两点，求 的取
值范围.
21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， .
（1）讨论 的单调区间；
（2）若 ，且对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分。
22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标
系，直线 的参数方程为 .
（1）写出直线 与曲线 在直角坐标系下的方程；
（2）设曲线 经过伸缩变换 x′＝x
y′＝2y得到曲线 ，设曲线 上任一点为 ，
求 的取值范围.]
23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数
（1）若 ，解关于 的不等式 ；
（2）若对任意的 都有 ，求 a 的取值范围.
高三理科数学答案
一、选择题：DDCAB ACBAD CD
二、填空题：
三、简答题：
17 题：（1）在 中，
,
,
由正弦定理 ,得 .
6 分
（1）由（1）知 ，依题意得 .在 中，由余弦定理得
,即 ,即
,解得 （负值舍去）.
故 ,
从而 . 6 分
18 题：（1）设等比数列 的公比为 q.
因为 成等差数列，所以 ，即 ，可得
，于是 .
又 ，所以等比数列 的通项公式为 .4 分
（2）易知 ，6 分
则
.8 分
当 n 为奇数时， 随 n 的增大而减小，所以 .
当 n 为偶数时， 随 n 的增大而减小，所以 .11 分
故对于 ，有 .12 分
21 题：（1） ，
1 当 时， ，则 在 上单调递增．
2 当 时，由 可解得 ，由 可解得
综上, 时， 的单调递增区间是 ；
时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．4 分
（2） ，令 ，
则 ，令 ，即 ，可解得 ．
①当 时，显然 ，此时 在 上单调递减，
∴ ，不满足条件．
②当 时，令 ．
显然 在 上单调递增，∴ ．
由 在 上单调递增，得 ．∴ ．
于是函数 的图象与函数 的图象只可能有两种情况：
若 的图象恒在 的图象的下方，此时 ，即 ，
故 在 上单调递减，又 ，故 ，不满足条件．
若 的图象与 的图象在 的某点处相交，设第一个交点的横坐标为 ，
当 时， ，即 ，故 在 上单调递减，
又 ，故当 时， ．∴ 不可能恒大于 0，不满足条件．
③当 时，令 ，则 ．
∵ ，∴ ，
故 在 上单调递增，
于是 ，即 ，
∴ 在 上单调递增，∴ 成立．
综上，实数 的取值范围为 ．8 分
22 题：
(1)直线 l 的普通方程为 x＋y－2－1＝0，
曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4。
(2)曲线 C 经过伸缩变换 x′＝x
y′＝2y得到曲线 C′的方程为 x2＋y2
4 ＝4，
则点 M 的参数方程为x0＝2cosθ
y0＝4sinθ(θ为参数)，
代入 x0＋1
2y0 得，x0＋1
2y0＝×2cosθ＋1
2×4sinθ＝2sinθ＋2cosθ＝4sin
π
3，
∴x0＋1
2y0 的取值范围是[－4,4]。
23 题：(1)当 a＝2 时，不等式 f(x)0 时，原不等式可化为
|x－2|<1⇒－11⇒x－2>1 或 x－2<－1⇒x>3 或 x<1，∴x<0。
综上得当 a＝2 时，原不等式的解集为{x|1