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- 2021-06-20 发布
2017年天门中学高二保送班上学期十月考试
数学试卷(理科)
命题：李会军 审题:李堃 黄兵
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．椭圆的焦距为2，则的值等于 （ ）.
A．5 B．8 C．5或3 D．5或8
2．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ( )
A．(0，+∞) B．(0，2) C．(1，+∞) D．(0，1)
3．若双曲线E：的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，则|PF2|等于 ( )
A．13或1 B．1 C．13 D．以上都不对
4．已知命题p：x∈R，2x2+2x+<0，命题q： x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是 ( )
A．p是真命题 B．q是假命题 C．p是假命题 D． q是假命题
5．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( )
A．28 B．14－8 C．14＋8 D．8
7．圆上到直线的距离等于的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若ab≠0，则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
9． 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距 离是（ ）
A. B. C. D.
10．若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM=( )
A. B. C. D.
11．已知动点P(x、y)满足10＝|3x＋4y＋2|，则动点P的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．无法确定
12．我们把离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是________．
14．P是椭圆上一定点,是椭圆的两个焦点,若,则椭圆的离心率为
15．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·
的最小值为________
16．已知点P是双曲线－＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝_______.
三、解答题（共70分）
17. （本小题满分10分）
已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率，若只有一个为真，求实数的取值范围．
1８.（本小题满分1２分）
椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
19. （本小题满分12分）
双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n.证明是定值.
20. （本小题满分12分）
直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，
求出k的值；若不存在，说明理由.
2１. （本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
22. （本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值；
(3) 在（2）的条件下，求面积的最大值．
高二数学（理科）试卷答案
一.选择题（每小题5分，共60分）
1-6 ｃDcDCｃ 7-12 ｃCDBａD
二．填空题（每小题5分，共20分）
13. 10＋2 14. 15. －2 16. b2
三．解答题（共70分）
17. p:0b>0)
∵e＝，即＝，∴a＝2c
又b2＝a2－c2＝3c2
∴椭圆方程为＋＝1.又∵椭圆过点A(2,3)
∴＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.
法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－4，－3)，＝(0，－3)，
∴＋＝(－4，－3)＋(0，－3)
＝－(1,2)，
∴kl＝2，∴l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
19. （1）易知 双曲线的方程是.
（2）设P，已知渐近线的方程为：
该点到一条渐近线的距离为：
到另一条渐近线的距离为
是定值.
２０.解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化简得
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
2１．解：（1）由△是等腰直角三角形，得c2＝2＝4, a2＝8
故椭圆方程为 ……4分
（2）①若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 得 ． ……6分
则． ……7分
由已知，可得，
所以
即。
所以，整理得…………9分
故直线AB的方程为
所以直线AB过定点…………10分
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为，设
由已知，得，此时AB方程为，显然过点。
综上所述，直线AB过定点…………12分
22. 解：（1） ……… 3分
（2） 设，，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.
由，得……………5分
△ ＞0， …………6分
有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)
＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0 ……8分
代入，得4 m2＝3 k2＋3
原点到直线AB的距离d＝. ………………9分
当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立．
所以点O到直线的距离为定值 ……………10分
说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分
（3）
＝ ＝≤4 ………12分
当且仅当，即时等号成立. ………………13分
当斜率不存在时，经检验|AB|＜2.所以≤