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- 2021-06-20 发布
1．数列1，－，，－，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
B．an＝(－1)n－1(n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．an＝(－1)n－1(n∈N*)
【答案】D
【解析】观察数列{an}各项，可写成：，－，，－，故选D。
2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项和第6项
【答案】D
【解析】令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6。
3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A．2n－1 B.n－1
C．n2 D．n
【答案】D
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝( )
A．36 B．35
C．34 D．33
【答案】C
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34。
5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，4
C．(－∞，5) D．(－∞，3
【答案】B
【解析】数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－≤1，即λ≤4。
6．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为( )
A. B.
C．10 D．21
【答案】B
＝6＋－1＝，所以f(5)＞f(6)，所以当n＝6时，有最小值。 学……&科网
7．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
【答案】C
【解析】根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝( )
A．31 B． 42
C．37 D．47
【答案】D
9．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．
图511
则第7个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
【答案】B
【解析】由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
10．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )
A．2n－1 B．
C．n2 D．n
【答案】D
【解析】∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，
∴an＝···…···a1
＝···…···1＝n.
11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019＝( )
A． B．－
C．3 D．－3
【答案】C
【解析】由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，
∴数列{an}是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，
∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3＝3.
12．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项．
【答案】10
【解析】令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．
∴a10＝0.08.
13．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝__________.
【答案】
14．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.
15．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
16．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝__________。
【答案】
【解析】将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝。
17．已知数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(n≥2)，则该数列的通项公式an＝__________。
【答案】
【解析】∵an－1－an＝(n≥2)，
∴＝。
∴－＝－。
∴－＝－，－＝－，…，－＝－。
∴－＝1－。∴＝3－。
∴an＝。
18．如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为__________。
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
…
【答案】n2－2n＋3
【解析】由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，
∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，∴an＝n2－2n＋3。 学……&科网
19．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求数列{an}的通项公式。
20．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
【答案】28
【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
21．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围.
【解析】(1)由n2－5n＋4<0，
解得1an知该数列是一个递增数列，
又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
22．数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4。
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值。
(2)对于n∈N*，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围。
23．设函数f(x)＝log2x－logx2(0－＝an。可知an＋1>an(n∈N*)，故此数列为递增数列。
方法二：由＝
＝<1，且an<0，得an＋1>an。
24．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.
因为a1也适合此等式，
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
25．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
公差为1的等差数列，故an＝n.