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- 2021-06-19 发布
福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试
高二（文科班）数学试卷
时间： 120 分钟 满分： 150 分
命题： 黄雪琼 审核： 江泽
试卷说明：
试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．抛物线 的焦点到准线距离为（ ）A. 1 B. 2 C. D.
2 ．已知 ,则双曲线 : 与 : 的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
3. 设等比数列 的公比 ,前 n 项和为 ,则 （ ）
A. 2 B. 4 C. D.
4.在平面内，已知双曲线 的焦点为 ，则“ ”是 “点
在双曲线 上”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q（2,－1）的距离与点 P 到抛物线的焦点距离
之和的最小值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
6．下列命题：
(1)“若 ，则 ”的否命题；
(2)“全等三角形面积相等”的逆命题；
(3)“若 ，则关于 的不等式 的解集为 ”的逆否命题；
其中正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，直线 和圆 ，当 从 开始在平面上绕点 按逆时针方向匀速转动（转
动角度不超过 ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数，这个函数的图
像大致是（ ）
A.
B. C. D.
8．设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点，
是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 C1：
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 3.若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点到
双曲线 C1 的渐近线的距离为 ，则抛物线 C2 的方程为（ ）
A．x2＝
3
3y B．x2＝
3
3y C．x2＝8y D．x2＝16y
10.已知双曲线 的中心为原点, 是 的焦点,过 F 的直线 与 相交于 A,B 两点,且
AB 的中点为 ,则 的方程式为（ ）
A． B． C． D．
1．已知 为双曲线 的左焦点, 为 上的点,若 的长等于虚轴长的
2 倍,点 在线段 上,则 的周长为（ ）
A.44 B.45 C.67 D.68
12．如图 F1、F2 是椭圆 C1:x2
4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点，A．B 分别是 C1.C2 在第二.四象
限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是（ ）
A．2 B．3 C．3
2 D．66
第Ⅱ卷 共 90 分
二、填空题：（每小题 5 分，共 30 分）
13．已知命题 p： ，则 是
14.某质点的位移函数是 则当 时，
它的速度是
15.右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，
水面宽 _米．
16.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的
一个交点，若 ，则 =
17．设双曲线 的中心为点 ,若有且只有一对相交于点 、所成的角为 的直线 和
,使 ,其中 、 和 、 分别是这对直线与双曲线 的交点,则
该双曲线的离心率的取值范围是
18．如右图， 的顶点 ， ， 的内切圆圆心在直线 上，则顶
点 的轨迹方程是 ．
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 60 分）
19.（本题满分 10 分）
已知曲线 .
（I）求曲线在点 处的切线方程；
（II）求斜率为 的曲线的切线方程．
20.（本题满分 12 分）
已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲线 的
离心率 ，若命题 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围．
21.（本题满分 12 分）
已知 是递增的等差数列, , 是方程 的根。
（I）求 的通项公式；
（II）求数列 的前 项和.
22.（本题满分 12 分）
在平面直角坐标系 中,经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不
同的交点 和 ．
（I）求 的取值范围；
（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ,是否存在常数 ,使得向量
与 共线？如果存在,求 值；如果不存在,请说明理由．
23.(本题满分 14 分)
已知椭圆 的顶点 B 到左焦点 F1 的距离为 2，离心率 e= ．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）若点 A 为椭圆 C 的右頂点，过点 A 作互相垂直的两条射线，与椭圆 C 分別交于不同
的两点 M，N（M，N 不与左、右顶点重合），试判断直线 MN 是否过定点，若过定点，求
出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由．
福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试
高二（文科班）数学参考答案
一、选择题：1－12：ADCBB BDCCB AD
二、填空题： 13、 052, 2 xxRx 14、 sm /24 15、2 6
16.3 17. 2 3( ,2]3
18.
2 2
=19 16
x y ( 3x ) ．
三、解答题：
19.解：（I）依题意 ，2xy 曲线在点 42，P 处的切线的斜率 42 xyk ，所以所求的切
线方程为 )2(44 xy ，即 044 yx ……3 分
( Ⅱ ) 当 切 线 的 斜 率 为 1 时 ， 设 此 时 的 切 点 为
3
4
3
1 3
00 xxM ， ， 则 切 线 的 斜 率
12
00
xyk xx ，所以 10 x 或 10 x ，……6 分
当 10 x 时，切点为
3
51， ，此时切线方程为 13
5 xy ，即 0233 yx ，…8 分
当 10 x 时，切点为 11- ，，此时切线方程为 11 xy ，即 02 yx ……10 分
20.解：若 p 真，则有 9 2 0m m ，即： 0 3m ； …2 分
若 q 真，则有 0m ，且
2
2
2
31 1 ( ,2)5 2
b me a
，
即： 5 52 m ………4 分
若命题 p q 为真命题， p q 为假命题，则 p q、 一真一假． ……5 分
若 p 真、 q 假，则0 3m ，且 55 2m m 或 ，即： 50 2m ； …8 分
若 p 假、 q 真，则 3 0m m 或 ，且 5 52 m ，即： 3 5m ； … 11 分，
∴所求 m 的取值范围为 50 2m 或3 5m ． …12 分
21.解:（I）方程 2 5 6 0x x 的两根为2,3,由题意得 2 2a , 4 3a ,设数列 na 的公差
为 d,,则 4 2 2a a d ,故 d= 1
2
,从而 1
3
2a ,
所以 na 的通项公式为: 1 12na n ……4分
(Ⅱ)设求数列
2
n
n
a
的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 1
2
2 2
n
n n
a n
,
则: 2 3 4 1
3 4 5 1 2
2 2 2 2 2n n n
n nS
3 4 5 1 2
1 3 4 5 1 2
2 2 2 2 2 2n n n
n nS
……6分
两式相减得
3 4 1 2 1 2
1 3 1 1 1 2 3 1 1 212 4 2 2 2 2 4 4 2 2n n n n n
n nS
……10分
所以 1
42 2n n
nS
……12 分
22.解：（Ⅰ）由已知条件,直线l 的方程为 2y kx ,……1 分
代入椭圆方程得
2
2( 2) 12
x kx ．
整理得 2 21 2 2 1 02 k x kx
①……3 分
直线l 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于 2 2 218 4 4 2 02k k k
,…4 分
解得 2
2k 或 2
2k ．即 k 的取值范围为 2 2
2 2
， ，∞ ∞ ．……5 分
（Ⅱ）设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ,则 1 2 1 2( )OP OQ x x y y ， ,……6 分
由方程①, 1 2 2
4 2
1 2
kx x k
． ②……7 分
又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x ． ③
而 ( 2 0) (01) ( 21)A B AB ，， ，， ， ．……9 分
所以OP OQ 与 AB
共线等价于 1 2 1 22( )x x y y ,……10 分
将②③代入上式,解得 2
2k ．……11 分
由（Ⅰ）知 2
2k 或 2
2k ,故没有符合题意的常数 k ……12 分
23.解：（1）由题意可知： ，
解得： ，
故椭圆的标准方程为 ；……3 分
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2）
当直线 MN 的斜率不存在时，MN⊥x 轴，
△MNA 为等腰直角三角形，
∴|y1|=|2﹣x1|，
又 ，M，N 不与左、右顶点重合，解得 ，此时，直线 MN 过点 ；
……6 分
当直线的斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y=kx+m，
由方程组 ，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得 4k2﹣m2+1＞0，
．……9 分
由已知 AM⊥AN，且椭圆的右顶点 A 为（2，0），
∴
，
，……10 分
即 ，
整理得 5m2+16km+12k2=0，解得 m=﹣2k 或 ，均满足△=4k2﹣m2+1＞0 成立．…12 分
当 m=﹣2k 时，直线 l 的方程 y=kx﹣2k 过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．
当 时，直线 l 的方程 ，过定点 ，
故直线过定点，且定点是 ．……14 分