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- 2021-06-19 发布
2018届高三第一学期期中质量检测
数学(理科)试卷
（共5页；完卷时间120分钟；满分150分）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1.已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}
2.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4.已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6.函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7.O为△ABC内一点，且2++=， =t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]
10.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11.设f（x）=，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．[1，2] C．[0，2] D．[1，+∞）
12.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•ex，且f（0）=，则的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4bsinA=a，若a，b，c成等差数列，且公差大于0，则cosA﹣cosC的值为 ．
14.已知，则二项式展开式中的常数项是 ．
15.如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为 ．
16.函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．
（I）若BD=，求角C；
（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．
18.(本小题满分12分)
若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A）＞0，ω＞0，﹣＜φ＜的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，
其中|BC|=．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围．
19.(本小题满分12分)
等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}中各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，数列{bn}的公比．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{（﹣1）nan•bn}的前2n项的和．
20.(本小题满分12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．
21.(本小题满分12分)
已知函数f（x）=lnx，
（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0））处的切线平行，求实数x0的值；
（2）若∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．
22.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为 y=x，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．
2018届高三第一学期期中质量检测
数学(理科)试卷参考答案
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1-5 ACAAD 6-10DBCBB 11-12 BD
13. 14.240 15. 16.
17.解：（I）在△ABD中，由余弦定理得，cosA==﹣．
又0＜A＜π，
∴A=．
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴C=π﹣A=．…（6分）
（II）因为BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=5﹣4cosA，
且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos（π﹣A）=25+24cosA，
∴cosA=﹣．…（9分）
又0＜A＜π，
∴sinA==．
∴S△BCD=S△ABD+S△CBD=+=2．…（12分）
18.解（Ⅰ）由图象可得：f（x）的周期T=[﹣（﹣）]=π，
即：=π得ω，
又由于B（﹣，﹣A），C（，A），∴|BC|==，∴A=2，
又将C（，2）代入f（x）=2sin（2x+φ），2sin（2×+φ）=2，
∵﹣＜φ＜解得φ=﹣，
∴f（x）=2sin（2x﹣），
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A﹣）=，
∴2A﹣=或2A﹣=，
解得A=或A=（舍去）
正弦定理=== 得：
b+c=（sinB+sinC）=[sinB+sin（B+）]=4sin（B+），
△ABC 是锐角三角形，∴B+C=，0＜B＜，0＜C＜，
∴＜B＜，＜B+＜
∴2＜b+c≤4，
∴求△ABC周长的取值范围为（2+2，6]
19.解：（1）∵a1=3，b2+S2=12，b1=1，
∴S2=12﹣b2=12﹣q，
又∵q=，
∴，
解得：q=3或q=﹣4（舍去），S2=9，
d=a2﹣a1=S2﹣2a1=3，
∴an=3+3（n﹣1）=3n，
bn=3n﹣1；
（2）由（1）可知，cn=（﹣1）nan•bn=（﹣1）nn•3n，
记数列{（﹣1）nan•bn}的前2n项的和为T2n，则
T2n=﹣1•31+2•32﹣3•33+…﹣（2n﹣1）•32n﹣1+（2n）•32n，
记T2n′=2•32+4•34+…+（2n）•32n，
则9T2n′=2•34+4•36+…+（2n）•32n+2，
两式相减得：
=，
∴，
同理，记T2n″=1•31+3•33+…+（2n﹣1）•32n﹣1，利用错位相减法计算可知
T2n″=+，
∴T2n=T2n′﹣T2n″=．
20.解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．
因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，
所以BE∥AG且BE=AG，
所以四边形BEGA为平行四边形．
所以EG∥AB，且EG=AB．
因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，
所以EG∥CD，且EG=CD．
所以四边形CDGE为平行四边形．
所以CE∥DG．
因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE∥平面PAD． …
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），
E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），
所以=（4，4，﹣4），=（4， 0，﹣2），=（0，4，﹣4）．
设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），
所以，可得．
令x=1，则，所以=（1，1，2）．
设PD与平面PCE所成角为a，
则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．
所以PD与平面PCE所成角的正弦值是． …
（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，﹣4，2）．
设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），
则．
令x=2，则，
所以=（2，，a﹣4）．
因为平面DEF⊥平面PCE，
所以•=0，即2++2a﹣8=0，
所以a=＜4，点．
所以． …
21.解：（1）把a=1代入得，g（x）=﹣+，
则f′（x）=，g′（x）=，
∵f（x）在点M （x0，f（x0））处的切线与
g（x）在点P （x0，g（x0））处的切线平行，
∴=，解得x0=1，
∴x0=1，
（2）由题意设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+﹣，
∵∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），
∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，
则F′（x）=﹣=，由F′（x）=0得，x=a，
F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，a）
a
（a，+∞）
F′（x）
﹣
0
+
F（x）
递减
极大值
递增
当a≥e时，函数F′（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，
∴F（e）=1+﹣≥0，得a，∴a≥e
当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，
则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+﹣，得a≥
∴≤a＜e，
综上所述，a≥．
22.解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
转化为普通方程：，
即，
则C1的极坐标方程为，
∵直线C2的方程为，
∴直线C2的极坐标方程．
（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），
将代入，
得：ρ2﹣5ρ+3=0，
∴ρ1•ρ2=3，
∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．