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- 2021-06-19 发布
2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题
数 学（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量的夹角为，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知等差数列满足，，则它的前12项和（ ）
A．135 B．150 C.95 D．85
5.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．36 B．24 C. 72 D．144
6.已知：命题“是，的充分必要条件”；命题“，”，则下列命题正确的是（ ）
A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题
C. 命题“”是真命题 D．命题“”是真命题
7.在平面直角坐标系中，，点是以原点为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是（ ）
A．5 B．4 C.3 D．
8.已知变量满足则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9.从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C. D．
10.函数，则函数的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C. 3 D．4
11.已知直三棱柱中，，，则异面直线与线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
12.定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为 ．
14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ．
15.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为 ．
16.设是曲线上的任一点，是曲线上的任一点，称的最小值为曲线与曲线的距离，求曲线与直线的距离为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和为，且满足（）.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和为
18. 台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：
（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
附：临界值表
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
随机变量
19.如图，直角梯形与等腰直角三角形的平面互相垂直，，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.
20. 某品牌汽车店，对该品牌旗下的型、型、型汽车进行维修保养，每辆车一年内需要维修的人工费用为200元，汽车店记录了该品牌三种类型汽车各100辆到店维修的情况，整理得下表：
车型
型
型
型
频数
20
40
40
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机制取10辆进行问卷回访.
（1）从参加问卷回访的10辆汽车中随机制取两辆，求这两辆汽车来自不同类型的概率；
（2）某公司一次性购买该品牌型汽车各一辆，求这三辆车的一年维修人工费用的总和为400元的概率.（各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率）
（3）经调查，该品牌型汽车的价格与每月的销售量之间有如下关系：
价格（万元）
25
23.5
22
20.5
销售量（辆）
30
33
36
39
由表中数据知型汽车的购买量与价格符合线性回归方程：，若型汽车价格降到19万元，请你利用该回归方程预测月销售量大约是多少？
参考数据：
参考公式：
21. 已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为
（1）求的值及函数的极值；
（2）证明：当时，；
（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有
22. 设的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: ADDBC 6-10:DCBBC 11、12：DA
二、填空题
13. 2 14. 15. 16.
三、解答题
17. （1）解：(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两
式相减，得an＝2an－1＋1
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列
因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1
(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.
所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ①
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ②
①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
18. 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
4000元
合计
捐款超过
500元
60
20
80
捐款不超
过500元
10
10
20
合计
70
30
100
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
4000元
合计
捐款超过
500元
30
捐款不超
过500元
6
合计
（图2）
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
4000元
合计
30
捐款超过
500元
捐款不超
过500元
6
合计
（图2）
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
4000元
合计
捐款超过
500元
30
捐款不超
过500元
6
合计
（图2）
因为，
所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.
由题意知的取值可能有，
，
，
，
，
，
从而的分布列为
，
19. 解：（Ⅰ）取中点，连结，．因为，所以．
因为四边形为直角梯形，，，
所以四边形为正方形，所以．
所以平面． 所以 ．
（Ⅱ）因为平面平面，且 ，
所以平面，所以． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以． 所以 ，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）存在点，且时，有// 平面．
证明如下：由 ，，所以．
设平面的法向量为，则有所以 取，得
因为 ，且平面，所以 // 平面． 即点满足时，有// 平面．
20. 解：（1）100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，A、B、C型汽车各2，4，4辆．
从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，有=45种方法，这两辆汽车来自同一类型的概率为=；汽车来自不同类型的概率为
(2)ξ表示这三辆车的一年维修人工费用总和
则P（ξ=400）=0.2×0.4×0.6+0.2×0.6×0.4+0.8×0.4×0.4=0.224，
（3） = （25+23.5+22+20.5）=22.75， = （30+33+36+39）=34.5，
解得 ，
回归直线方程为：
所以当x=19时所以预测月销售量大约是42辆。
21. 解：(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a.
又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2.
令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.
当xln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，
f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，
故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，
所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x20时，x20时，x21，要使不等式x2kx2成立．
而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．
令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝.
所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．
取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．
又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，
易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.
即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x20时，x2x0时，有x2ln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，
f(x)无极大值．…………3分
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，
故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，
所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x20时，x20时，x21，要使不等式x2kx2成立．
而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．
令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝.…………9分
所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．
取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．
又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，
易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.
即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x20时，x2x0时，有x2