2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高一（美术班）上学期12月月考数学试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高一（美术班）上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，‎ 解可得，，‎ ‎∴函数的定义域为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查求具体函数的定义域，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．‎ ‎3．下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】D ‎【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A中 定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除A；‎ B中定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；‎ C中 y= 定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；‎ D中，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断两函数是否是同一函数，熟记相等函数的判定条件即可，属于基础题型.‎ ‎4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由一次函数的性质判断A错；由指数函数的性质判断D错；由二次函数性质，判断C错，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由一次函数的性质可知，为奇函数，故A错误；‎ 由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数，故D错误；‎ 由二次函数的性质可知，是偶函数，在上单调递减；故C错误．‎ 由得是偶函数，当时，显然单调递增，故B正确；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断，熟记基本初等函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型．‎ ‎5．已知，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别得出的大致范围，即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，．‎ ‎∴．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题型．‎ ‎6．已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得到，根据指数函数性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 对于函数且，令，解得，，‎ 所以图象恒过定点，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数型复合函数过定点的问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.‎ ‎7．已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数图像的平移变换、翻折变换等，逐项判断即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ A选项，因为的图像是将图像向上平移一个单位，所以；A错；‎ B选项，因为的图像是将图像向左平移一个单位，左右平移不改变值域，故；故B正确；‎ C选项，与图像关于轴对称，所以，C错；‎ D选项，的图像是将在轴下方的部分向上翻折，故，D错.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数图像的变换确定函数值域，熟记函数图像变换的原则即可，属于常考题型.‎ ‎8．定义运算，则函数的图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由题意得到函数解析式，进而可得出函数图像.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：.‎ 根据选项，可得D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的图象，根据题意写出分段函数解析式，即可得出结果，属于基础题．‎ ‎9．设定义在区间上的函数 是奇函数 ，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：定义在区间上的函数是奇函数，；∴；，；，‎ ‎，令，可得，，的取值范围是；故选A.‎ ‎【考点】函数的奇偶性，对数函数指数函数的性质.‎ ‎10．定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②； ③；④，能被称为“理想函数”的有（ ）个．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由题意得到函数在上单调递增，逐项判断，只需满足在上单调递增，即称函数为“理想函数”，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由，内，设，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，函数在上单调递增．‎ ‎①中，而这个函数在为减函数，与函数在上单调递增矛盾，所以①不正确；‎ ‎②中，所以函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义，所以②正确；‎ ‎③中，在为减函数，与题意矛盾，所以③不正确；‎ ‎④中，在为增函数，符合题意，所以④正确；‎ 易知②④符合条件，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎11．已知函数则 ______，______．‎ ‎【答案】3 9 ‎ ‎【解析】根据函数解析式，直接代入，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数 ‎∴，所以.‎ 故答案为：3；9．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求分段函数的函数值，逐步代入即可求解，属于基础题型.‎ ‎12．定义在R上的偶函数满足：当，，则 ‎_______；当时，_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据题意，由函数的解析式求出的值，设，则，由函数的奇偶性以及解析式分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，当，， ，‎ 设，则，则，‎ 又由为偶函数，‎ ‎ ，‎ 故答案为：0，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．‎ ‎13．函数的定义域为________值域为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据指数函数的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵2x+1＞0恒成立，‎ ‎∴函数的定义域为（﹣∞，+∞），‎ 由y=得y（2x+1）=1，‎ 即（1+y）2x=1-y，‎ 当y=-1时，0=2不成立，‎ 当y≠-1，则2x=，‎ 由2x=＞0得﹣1＜y＜1，‎ 即函数的值域为（﹣1，1）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域和值域的求解，利用指数函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎14．函数的定义域是_________；增区间是_________.‎ ‎【答案】（0，4） (0，2]或者（0，2）也对 ‎ ‎【解析】由对数函数的真数大于零得到不等式，解得函数的定义域；根据复合函数的单调性，可得本题即求函数在满足的条件下，函数的增区间．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 解得，故函数的定义域为；‎ 函数的增区间，即函数在满足的条件下，函数的增区间，‎ 再利用二次函数的性质可得在满足的条件下，函数的增区间为．‎ 故函数的增区间．‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．‎ ‎15．若函数，当时是减函数，当时是增函数，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，得到二次函数的对称轴为，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的图象是抛物线，‎ 当时是减函数，当时是增函数，‎ ‎∴抛物线的对称轴是，‎ 解得.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由二次函数性质求参数，熟记二次函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎16．关于的一元二次方程一个根大于1，一个根小于1，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由题意可得：函数与轴的交点一个在的左侧，一个在右侧，所以即可，解得．‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 由题意可得：函数与轴的交点一个在的左侧，一个在的右侧，‎ 所以即可，解得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 解决此类问题的关键是熟练掌握实根分布问题解决的方法，属于基础题．‎ ‎17．已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数的图象，结合图像与题中条件，分析出，，从而可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 由函数，作出函数的图象；‎ 因为存在实数满足，‎ 由图像可得：，解得；，‎ 由得，所以，因此，‎ 所以．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的性质，对数的运算，数形结合的方法的运用，熟记对数函数的图像与性质即可，属于常考题型．‎ 三、解答题 ‎18．已知集合，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值集合．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）当时，求出集合的等价条件，结合交集定义进行计算，即可得出结果；‎ ‎（2）根据转化为，结合集合关系进行求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ 又，所以；‎ ‎（2）由得．‎ 当时，符合题意，‎ 当时，由得，‎ 而∴或，解得或．‎ ‎∴的取值集合为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求集合的交集，以及由集合的包含关系求参数，熟记集合交集的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.‎ ‎19．已知.‎ ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）求使成立的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（-1，1）；（2）（-1，0）.‎ ‎【解析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；‎ ‎（2）根据对数函数的单调性以及对数函数的定义得到关于的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎，解得：，‎ 故函数的定义域是；‎ ‎（2）若成立，‎ 则，‎ 因为函数在定义域上单调递减，‎ 则，解得：．‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，属于基础题．‎ ‎20．已知幂函数的图象过点和 ．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）先由幂函数的图象过点，求出解析式，再由图像过点，即可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得到，分别讨论，两种情况，根据对数函数单调性，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为幂函数的图象过点，所以，解得；‎ 所以 又点也在幂函数上，所以；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎①当时，函数在区间上单调递增．‎ 由题意可得：，‎ 解得；‎ ‎②当时，函数在区间上单调递减．‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 综上所述，或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的解析式，以及对数函数单调性的应用，熟记幂函数的定义，以及对数函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎21．已知，.‎ ‎（1）判断的奇偶性；‎ ‎（2）时，.‎ ‎①判断在上的单调性（不用证明）；‎ ‎②求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）奇函数；（2）①单调增；②.‎ ‎【解析】（1）根据奇偶性的定义判断，首先求出函数的定义域，再计算；‎ ‎（2）①根据单调递增，单调递减，可得在定义域上的单调性；‎ ‎②根据函数的奇偶性、单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数为奇函数；‎ 证明：，‎ 定义域为，‎ 又 为奇函数 ‎（2）①函数在上单调递增；‎ ‎②由以上可知函数在上单调递增的奇函数，‎ 解得 故 ‎【点睛】‎ 本题考函数奇偶性、单调性的判断及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．‎ ‎22．设二次函数满足．‎ ‎（1）已知对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】先由，得到；推出 ‎（1）对于任意的实数，不等式恒成立，可转化为恒成立，用判别式小于等于，即可得出结果；‎ ‎（2）令，则可看作关于的一次函数，根据题意，结合一次函数单调性，列出不等式组，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，所以，‎ ‎（1）因为对于任意的实数，不等式恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 因此只需，解得；‎ ‎∴实数的取值范围是；‎ ‎（2）令，则可看作关于的一次函数，‎ 又对于任意的，不等式恒成立，‎ 所以对于任意的恒成立，‎ ‎∴，解得：．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型.‎