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- 2021-06-19 发布
江苏省启东中学2016-2017年度第一学期第二次月考
高二（理科）数学试卷（Ⅰ）
时间120分钟 分值160分
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1. 命题，”的否定是 .
2. 对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的 .【来源：全,品…中&高*考+网】
3. 下列选项叙述错误的是 .
A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.若命题：，则：
C.若为真命题，则，均为真命题
D.“”是“”的充分不必要条件
4. 已知为虚数单位，且复数为纯虚数，则实数的值是 .
5. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ．
6. 与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 .【来源：全,品…中&高*考+网】
7. 已知伪代码如下，则输出结果S= .
I←0
S←0
While I＜6
I←I+2
S←S+I2
End while
Print S
8. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它
10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为 .
9. 已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
10.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 .
11. 若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则数列{}为等比数列，公比为________．【来源：全,品…中&高*考+网】
12.是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为 .
13. 已知椭圆C:（a＞b＞0）的左右焦点为, 若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是 .
14. 设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，若＝＝＝＝k，则(ihi)＝.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，则相应的正确命题是：若＝＝＝＝k，则________．
二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分14分)下面是甲乙两人各自对一个作直线运动的质点的运动过程进行观测，分别记录了8次成绩,记第次观测得到的数据为，两人各自得具体如下表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
甲
40
41
43
43
44
46
47
48
乙
39
41
42
43
45
46
47
49
在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图
(其中是这8个数据的平均数)。
1）分别求出甲、乙测得的平均数甲、乙
2）求甲、乙两统计的数据算法流程图输出的的值，谁的成绩稳定？
16. (本小题满分14分)已知命题P函数在定义域上单调递减；
命题Q不等式对任意实数恒成立
若是真命题，求实数的取值范围
17. (本小题满分15分)
中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值。
18．(本小题满分15分)如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=
，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等（E与AB在一条直线上）.
（1）适当建立直角坐标系，求曲线DE的方程；
（2）过C点能否作一条直线与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由，A
B
C
D
E
如果能，则求出该弦所在直线的方程。
19. (本小题满分16分)
已知半椭圆和半圆组成曲线，其中；如图，半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大．
（1）求曲线的方程；
（2）连、交分别于点，求证：为定值．
20. (本小题满分16分)
tesoon
天·星om
权
天·星om
权
Tesoon.com
天星版权
tesoon
tesoon
tesoon
天星
已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A、B两点，与直线x＝－4相交于点Q，P是椭圆E上一点且满足＝＋ (其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得·为定值？若存在，求出点T的坐标及·的值；若不存在，请说明理由．
江苏省启东中学2016-2017年度第一学期第二次月考
高二（理科）数学试卷（Ⅱ）
时间30分钟 分值40分
本大题共4小题，每小题10分，共40分
1.在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________.
2.已知抛物线的弦过定点,则弦中点的轨迹方程是 .
3．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λ（0＜λ≤1）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C﹣AE﹣D的大小为60°，求λ的值．
4. 已知数列的前项和为，通项公式为，，
（1）计算的值；
（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
江苏省启东中学2016-2017年度第一学期第二次月考
高二数学试卷（Ⅰ）答案
一、填空题
1、, 2.必要不充分条件 3. C 4.0 5 .2
6.或 7. 56 8. 32 9. 10.三个内角都大于60°
11. 12. 3 13. 14. (iHi)＝
二、解答题
15.答案：1）甲=乙=44；2）7；9.75；甲更稳定
16.答案 解∵命题P函数在定义域上单调递减；
∴……………………………………………………………………（3分）
又∵命题Q不等式对任意实数恒成立；
∴………………………………………………………………………（2分）
或， ………………………………………（3分）
即……………………………………………………………（1分）
∵是真命题，∴的取值范围是………………………（5分）【来源：全,品…中&高*考+网】
17.解答：（1）由已知：，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则
，解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.
∴椭圆方程为双曲线方程为。
（2）不妨设分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则
所以又，
∴=
【来源：全,品…中&高*考+网】
18、解：（1）取AB的中点O为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，由题意曲线DE为一段椭圆弧，得， ∴
∴ 曲线DE的方程为
（2）方法一：C点坐标为C（）
设存在直线与曲线ED交于点M（），N（），
∴
∴ ， ∴
∴ 直线的方程为 即
将直线方程代入曲线DE的方程，得
解得，M（），N（）（M，N在曲线上）
∴ 存在直线，其方程为
方法二：取曲线DE与y轴的交点M（0，）和与x轴的交点N（4，0），显然C（2，）为M，N的中点，所以弦MN即为所求，其所在直线方程为，即
19.【解析】（1）已知点在半圆上，所以
，又，所以，当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，此时的面积取得最大值，故半圆在点处的切线与直线平行，所以，又，所以，又，所以，
所以曲线的方程为、。
（2）点，点，设，则有直线的方程为
，
令，得，所以；
直线的方程为，令，得，
所以； 则
，又由，得，代入上式得
，所以为定值。
20.[规范解答]
(1)抛物线y2＝8x的焦点为椭圆E的顶点，即a＝2.又＝，故c＝1，b＝.
∴椭圆E的方程为＋＝1. 4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝. 6分
将P代入椭圆E的方程，得＋＝1.
整理，得4m2＝4k2＋3. 8分
设T(t,0)，Q(－4，m－4k)，则＝(－4－t，m－4k)，＝，
即·＝＋＝.∵4k2＋3＝4m2，
∴·＝＝＋. 11分
要使·为定值，只需2＝＝为定值，则1＋t＝0，∴t＝－1，∴在x轴上存在一点T(－1,0)，使得·为定值. 13分
试卷（Ⅱ）答案
1.【解析】设由可得故
答案: (0,-1，0)
2.略
3.【解答】解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（a，0，0），
B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），
（1）证明：∵=（﹣a，a，0），
=（﹣a，﹣a，λa），=（a，0，﹣λa），=（0，a，﹣λa）．
∴•=（﹣a，a，0）•（﹣a，﹣a，λa）
=a2﹣a2+0•λa=0，
即对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE．
（2）=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为n=（x，y，z），
则n⊥E，n⊥E，
∴即
取z=1，得n=（λ，λ，1）．
∴cos60°═⇔=2|λ|．【来源：全,品…中&高*考+网】
由λ∈（0，1]，解得λ=．
4.（1）由已知，
，
； ……3分
（2）由（Ⅰ）知；下面用数学归纳法证明：
当时，．
（１）由（Ⅰ）当时，； ……5分
（２）假设时，，即
，那么
，所以当时，也成立.……8分
由（1）和（2）知，当时，．
所以当，和时，；当时，． ……10分