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- 2021-06-19 发布
【最新考纲解读】
【考点深度剖析】
1. 江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征向量的复习.
2. 加强训练，提高推理和运算能力. 矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题.
【课前检测训练】
【练一练】
1.已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x，y为实数.若Aα＝Bα，求x＋y的值.
2.已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
解 设矩阵A的逆矩阵为，
则·＝，
即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
从而A的逆矩阵为A－1＝，
所以A－1B＝ ＝.
3.已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程.
解 因为B＝，
所以B－1＝，
所以AB－1
4.已知矩阵M＝满足：Mαi＝λiai，其中λi(i＝1，2)是互不相等的实常数，αi(i＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝，求矩阵M.
解 由题意，λ1，λ2是方程
f(λ)＝＝λ2－ab＝0的两根，
因为λ1＝1，所以ab＝1.
又因为Mα2＝λ2α2，所以 ＝λ2，
从而
所以λ＝ab＝1.
因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1.
从而a＝b＝－1.
故矩阵M＝.
5.已知a，b∈R，矩阵A＝所对应的变换TA将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，b的值.
解 设直线x－y－1＝0上任意一点P(x，y)在变换TA作用下变成点P′(x′，y′)，
【题根精选精析】
考点1:矩阵及其变换
【1-1】已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB对应的变换把直线l：x＋y－2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．
【答案】4x＋y－8＝0.
【解析】易得AB＝＝，在直线l上任取一点P(x′，y′)，经矩阵AB变换为点Q(x，y)，
则＝＝，
∴即
代入x′＋y′－2＝0中得x－y＋－2＝0，
∴直线l′的方程为4x＋y－8＝0.
【1-2】求使等式＝M成立的矩阵M.
【答案】
【解析】设M＝，
则＝M＝，
则⇒
即M＝.
【1-3】已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
【答案】
【1-4】在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形△A′B′C′的面积，其中M＝，N＝.
【答案】4
【解析】解：因为△ABC在MN作用下变换为
△A′B′C′，
且MN＝＝，
所以＝，
＝，
＝.
即A′(0,0)，B′(0,4)，C′(－2,4)．
可得S△A′B′C′＝4.
所以△ABC在矩阵MN作用下变换所得的图形的面积为4.
【1-5】在直角坐标系中，已知椭圆x2＋4y2＝1，矩阵M＝，N＝，求椭圆x2＋4y2＝1，在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积．
【答案】π.
∴在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为π.
【基础知识】
1．乘法规则
(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法法则：
[a11 a12]＝[a11b11＋a12b21]．
(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：
＝.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：
＝.
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)C＝A(BC)．
(5)AkAl＝Ak＋l，(Ak)l＝Akl(其中k，l∈N*)．
2．常见的平面变换
(1)恒等变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示恒等变换．
(2)反射变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(－x，y)，故矩阵表示关于y轴的反射变换；类似地，，，分别表示关于x轴、直线y＝x和直线y＝－x的反射变换．
(3)伸缩变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍，故矩阵表示y轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵可以用来表示水平伸缩变换．
(4)旋转变换：把点A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是.
(5)切变变换：＝表示的是沿x轴的切变变换．沿y轴的切变变换对应的矩阵是.
(6)投影变换：＝，该变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵表示的是x轴上的投影变换．类似地，表示的是y轴上的投影变换．
【思想方法】.
1.通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用
2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．
3．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．
2．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式．
【温馨提醒】1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等．
2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律．
考点2：特征值与特征向量
【2-1】若矩阵M＝，N＝，求矩阵MN的逆矩阵．
【答案】
【解析】解： ∵M＝为一伸缩变换对应的矩阵，
∴M－1＝.
又∵N＝也为一伸缩变换对应的矩阵，
∴N－1＝.
由矩阵的性质知
(MN)－1＝N－1M－1＝＝.
【2-2】已知矩阵M＝的一个特征值为3，求其另一个特征值．
【答案】－1.
【2-3】给定矩阵A＝，B＝，求A4B.
【答案】
【解析】解：设A的一个特征值为λ，由题知＝0，得
【2-4】已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1＝，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝，求矩阵A.
【答案】
【解析】解：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1＝可得＝3，
即
由矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α2＝可得＝(－1)，
即解得即矩阵A＝.
【2-5】已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
【答案】
【解析】[解] 设矩阵A的逆矩阵为，
则＝，
即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
从而A的逆矩阵为A－1＝，
所以A－1B＝＝.
【基础知识】
1．逆变换与逆矩阵
(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．
(2)逆矩阵：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E2，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．
(3)逆矩阵的性质
性质①：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．
性质②：设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.
(4)定理：二阶矩阵A＝可逆，当且仅当det A＝ad－bc≠0.
2．逆矩阵与二元一次方程组
(1)定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组(线性方程组)的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解＝－1.
(2)推论：关于变量x，y的二元一次方程组其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式＝0.
3．特征值和特征向量
设矩阵A＝，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．
4．特征向量的性质
设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.
【思想方法】
1．求逆矩阵的常见方法
(1)待定系数法：
设A是一个二阶可逆矩阵，AB＝BA＝E2；
(2)公式法：
|A|＝＝ad－bc，有A－1＝，
当且仅当|A|≠0；
(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵；
(4)利用逆矩阵的性质(AB)－1＝B－1A－1.
2．求特征值和特征向量的方法
(1)矩阵M＝的特征值λ满足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，属于λ的特征向量a＝满足M＝λ.
(2)求特征向量和特征值的步骤：
①解f(λ)＝＝0得特征值；
②解⇔(λ－a)x－by＝0，取x＝1或y＝1，写出相应的向量．
【温馨提醒】1．逆矩阵的求法常用待定系数法．
2．若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB)－1＝B－1A－1，若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB＝AC时，有B＝C，即此时矩阵乘法的消去律成立．
3.求Mnα，一般都是先求出矩阵M的特征值与特征向量，将α写成t1α1＋t2α2.利用性质Mnα＝t1λα1＋t2λα2求解．
【易错问题大揭秘】
1.两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算.
2.矩阵的特征值与特征向量
(1)不是每个矩阵都有特征值与特征向量.
(2)属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.
(3)设ξ是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零数k，kξ也是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量.