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- 2021-06-19 发布
莆田一中2018-2019学年上学期高二理科数学月考试卷
内容：圆锥曲线、导数、立体几何、不等式 (满分150分）
命题人： 审核人：
一．选择题(本题共12小题，每小题5分,共60分）
1.已知是可导函数，则是为极值的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答B
2. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的( )
答C
3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
答D
4.已知函数 在R上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B
C. D.
答B
5.已知双曲线M：的焦距为4，两条渐近线的夹角为 ，则双曲线M的标准方程为（ ）
A． B.
C. D.
答B
6.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝（ ）
A.3 B 34 C. D.6
答A
7.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C： (a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
答案 B
解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×(-)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,得=,所以e=.
8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为 ,点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段与双曲线右支交于点B，且
,则双曲线C的离心率为（ ）
A. 2 B.3 C. D.
答案 C
9.已知定义在R上的奇函数的导函数为，当时，且，则使成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案 B
10．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为 ，过F的直线与抛物线C交于A,B两点，交于点D，过A,B分别作x轴的平行线，分别交于M,N两点。若 ,的面积等于 ，则抛物线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
答：D
11.已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析：根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由得故四边形ABCD的面积为4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的双曲线的方程为-=1,选D.
12.已知函数 ，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案 D
二．填空题(本题共4小题，每小题5分,共20分）
13.已知点A(-1,2),F是抛物线的焦点,M在抛物线上的一动点,设M到A的距离为 ,到抛物线准线的距离为,则的最小值为
答案：2 ,
14.函数的减区间为
答
15.若对任意， 恒成立，则正实数的取值范围为
答：
16.若曲线 与 存在公切线，则实数 的取值范围是
答案
三．解答题(共70分)
17. (10分)已知函数 ，其中。
(1)若，求不等式 的解集；
(2)若不等式的解集为，求的值。
17.
18. (12分) 已知抛物线C： 上一点M到准线的距离为5。
(1)求抛物线C方程
(2)过点N的直线交抛物线C于A,B两点，求面积的最小值。(为坐标原点)
解析 (1)由 得
抛物线方程为
(2)依题意，直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB方程为 , 设
消y得 显然 ，
=4 ，
当 时，面积取得最小值 。
19. (12分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.
(1)若曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;
(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)内是减函数,求实数m的取值范围.
解 (1)∵f(x)=ln x,∴f'(x)=又f(x)与g(x)在x=1处相切,
∴f'(1)=1=a,即a=2.
又g(1)=f(1)=0=a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1.
(2)∵φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)内是减函数,
∴φ'(x)=0在[1,+∞)内恒成立,即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)内恒成立.∴2m-2≤x+,x∈[1,+∞).
∵x+[2,+∞),∴2m-2≤2,即m≤2.
故实数m的取值范围是(-∞,2].
20. (12分)如图，在三棱柱中，，
，点E为棱BB1的中点．
(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；
(Ⅱ)求二面角A﹣C1E﹣B的余弦值．
(Ⅰ)证明：∵BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=，
所以在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=，
∴C1B2+BC2=，即C1B⊥BC．
又AB⊥侧面BCC1B1，
故AB⊥BC1，又CB∩AB=B，
所以C1B⊥平面ABC；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，BC、BA、BC1两两垂直，以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(，0，0)，C1(0，0，)，B1(﹣，0，)，
∴=(0，2，﹣)，
设平面AC1E的一个法向量为=(x，y，z)，
由，得，令，得
又平面C1EB的一个法向量为=(0，1，0)，所以cos＜，＞===，
所以二面角A﹣C1E﹣B的余弦值为．
21．(12分)已知曲线上任意一点到两个定点，
的距离之和4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于 两点，且（为原点），求直线的方程．
解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，
其中，，则．
所以动点的轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
∵，∴．
∵，，∴．
∴ ．… ①
由方程组 得．
则，，代入①，得．
即，解得，或．
所以，直线的方程是或．
22. (12分)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2有两个零点.
(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)求a的取值范围;
解析 (1)当a=1时,f(x)=(x-1)ex+x2,f'(x)=x(ex+2),
令f'(x)>0,得x>0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,
令f'(x)<0,得x<0,所以y=f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以f(x)min=f(0)=-1.
(2)f'(x)=ex+(x-1)ex+2ax=x(ex+2a),
①当a=0时,f(x)=(x-1)ex,此时函数f(x)只有一个零点,不符合题意,舍去.
②当a>0时,由f'(x)>0得x>0,由f'(x)<0得x<0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=-1<0,