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- 2021-06-19 发布
2017-2018学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高二下学期期末考试
数学试题（理）
（命题人:柴树山 审核人：徐岳 分值:150 时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
（Ⅰ）卷
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
A. B.
C. D.
2. 点M的直角坐标化成极坐标为
A. B. C. D.
3. 已知随机变量服从二项分布，且，，则p等于
A. B. C. D.
4. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是
A. B. C. D.
5. 已知：，且，，则
A. B. C. D.
6. 在极坐标系中，点关于极点的对称点为
A. B. C. D.
1. 甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有
A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 24种
2. 已知点P的极坐标是，则过点P且平行极轴的直线方程是
A. B. C. D.
3. 某研究机构在对线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：
x
4
6
8
10
12
y
1
2
3
5
6
由表中数据求的y关于x的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为
A. B. C. D.
4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是
A. B.
C. D.
1. 已知抛物线的参数方程为，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为
A. B. C. 8 D. 4
2. 直线为参数被曲线所截的弦长为
A. B. C. D.
（Ⅱ）卷
二、 填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
3. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为．
其中所有正确结论的序号是______ ．
4. 连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为______ ．
5. 在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是______ ．
6. 化极坐标方程为直角坐标方程为______
三、解答题（本大题6小题，共70分）
7. （10分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是
，不会出现平局．
如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；
如果采用五局三胜制若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜，求甲获胜的概率．
1. （12分）已知过点的直线l的参数方程是为参数以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为．
Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
Ⅱ若直线l与曲线C交于两点A，B，且，求实数m的值
2. （12分）某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三 年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查结果只有“满意”和“不满意”两种，从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：
班号
一班
二班
三班
四班
五班
六班
频数
5
9
11
9
7
9
满意人数
4
7
8
5
6
6
(1) 在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
20.（12分）已知直线l：为参数，曲线：为参数．
设l与相交于A，B两点，求；
若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
21.（12分）国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
______
______
80
年龄大于50岁
10
______
______
合计
______
70
100
根据已知数据，把表格数据填写完整；
能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？
已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1
位教师的概率．
附：，，
k
22.（12分）已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
Ⅰ写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
Ⅱ已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于P、Q两点，射线OP与曲线相交于点A，射线OQ与曲线相交于点B，求的值．
答案和解析
【答案】
1. B 2. D 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C
8. D 9. A 10. A 11. C 12. A
13.
14.
15.
16. 或
17. 解：甲恰好胜2局的概率；
乙至少胜1局的概率；
打3局：； 打4局：；
打五局：
因此甲获胜的概率为
18. 解：Ⅰ过点的直线l的参数方程是为参数．
转化为直角坐标方程为：，
曲线C的极坐标方程式为．
转化为直角坐标方程为：．Ⅱ直线l与曲线C交于两点A，B，
则：把为参数，代入曲线方程，
整理得：．
由于，
故：．
解得：或
19. 解：因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36
人，
所以持满意态度的频率为，
据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．
的所有可能取值为0，1，2，3．；；；．的分布列为：
0
1
2
3
P
．
20. 解：的普通方程为，的普通方程为，
联立方程，解得交点坐标为， ，
所以；
由已知曲线：为参数，
设所求的点为，
则P到直线l的距离，
当，d取得最小值．
21. 20；60；10；20；30
22. 解：Ⅰ曲线的参数方程是为参数，
化为普通方程是；
化为极坐标方程是
；
又曲线的极坐标方程是，
化为直角坐标方程是；Ⅱ点、的极坐标分别是、，
直角坐标系下点，；
直线与圆相交于P、Q两点，所得线段PQ是圆的直径；
，，；
又A、B是椭圆上的两点，
在极坐标系下，设，，分别代入方程中，
有，
；
解得，
；
；
即． []
【解析】
1. 解：曲线的极坐标方程即，即，
化简为，
故选：B．
曲线的极坐标方称即，即
，化简可得结论．
本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．
2. 【分析】
本题考查了直角坐标化成极坐标的计算要牢记，的关系比较基础．
【解答】
解：点M的直角坐标
由，，
，，
解得：，，
极坐标为
故选D．
3. 解：服从二项分布
由，，
可得，．
故选：B．
根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．
本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．
4. 解：将曲线经过伸缩变换变为即
设伸缩变换公式是
把伸缩变换关系式代入式得：与的系数对应相等得到：
变换关系式为：
故选：C
首先设出伸缩变换关系式
，然后利用变换前的方程，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，求出相应的结果
本题考查的知识点：变换前的方程，伸缩变换关系式，变换后的方程，知道其中的两个量可以求出第三个变量．
5. 解：由题意，，，
．
故选：C．
由题目条件，得随机变量x的均值和方差的值，利用，即可得出结论．
本题主要考查正态分布的参数问题，属于基础题，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．
6. 解：关于极点的对称点为，
关于极点的对称点为．
故选：C．
关于极点的对称点为．
本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．
7. 解：根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，排好后，丁、戊的两边和中间共有3个空位．
再排甲、乙、丙三人，
若甲乙相邻，则把甲乙视为一个元素，与丙一起放进三个空位中的两个空位中，有种方法；
若甲乙不相邻，则甲、乙、丙一起放进三个空位中，有种方法，
根据分步、分类计数原理，不同的排法数目有种，
故选：C．
根据题意，先排丁、戊两人，有2种排法，再排甲、乙、丙三人，分甲乙两人相邻、不相邻两种情况讨论，可得甲、乙、丙的排法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的运用，解题时注意甲乙两人可以相邻，还可以不相邻，需要分情况讨论，属于中档题．
8. 解：把点P的极坐标化为直角坐标为，
故过点P且平行极轴的直线方程是，
化为极坐标方程为
，
故选：D．
把点P的极坐标化为直角坐标，求出过点P且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．
本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．
9. 解：，，
故，解得：，
则，
故5个点中落在回归直线下方的有，，共2个，
故所求概率是，
故选：A．
求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有，，共2个，求出概率即可．
本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．
10. 解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于，
由此可得．
故选：A
根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于或，此题是基础题．
11. 解：抛物线的参数方程为，普通方程为，抛物线焦点为，且斜率为1，
则直线方程为，代入抛物线方程得
，设，
根据抛物线的定义可知
，
故选C．
先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求得答案．
本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质对学生基础知识的综合考查关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得值，从而解决问题．
12. 【分析】
本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题直线为参数，消去参数t化为普通方程曲线，利用， ，，可得直角坐标方程求出圆心到直线的距离，可得直线被曲线C所截的弦长．
【解答】
解：直线为参数，消去参数化为：．
曲线即，化为直角坐标方程：，
配方为：，可得圆心，半径．
圆心到直线的距离，可得直线被曲线C所截的弦长为．
故选A．
13. 解：从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故正确；
从中有放回的取球6次，每次任取一球，
取到红球次数，其方差为，故正确；
从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率，
至少有一次取到红球的概率为，故正确．
故答案为：．
所求概率为，计算即得结论；
利用取到红球次数可知其方差为；
通过每次取到红球的概率可知所求概率为．
本题考查概率的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．
14. 解：连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，至少有一次出现正面向上的概率为全部是反面，
恰有一次出现反面向上的概率为，
故在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为，
故答案为．
至少有一次出现正面向上的概率为全部是反面，恰有一次出现反面向上的概率为，再根据条件概率的计算公式求得结果．
本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，条件概率的计算公式的应用，属于中档题．
15. 解：的直角坐标为：，圆的直角坐标方程为：；显然，圆心坐标，半径为：2；
所以过与圆相切的直线方程为：，所以切线的极坐标方程是：
故答案为：
求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．
本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力，转化思想．
16. 解：由极坐标方程可得或，
表示原点．
由，化为．
综上可知：所求直角坐标方程为或．
由极坐标方程可得或，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出．
本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，属于基础题．
17. 先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．
由于采用五局三胜制，则甲获胜包括甲以3：0获胜，以3：1获胜，以3：2获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．
求一个事件的概率，关键是先判断出事件所属的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算正确理解概率加法公式和相互独立性事件的概率计算公式是解题的关键．
18.Ⅰ直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．Ⅱ利用方程组求出一元二次方程，利用根和系数的关系式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．
19. 因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．
的所有可能取值为O，1， 2，利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．
本题考查了超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 本题考查直线与圆的位置关系及直线与圆的参数方程与普通方程的互化，同时考查点到直线的距离公式及函数图象与性质．
将直线l中的x与y代入到直线中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出
将直线的参数方程化为普通方程，曲线任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．
21. 解：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
20
60
80
年龄大于50岁
10
10
20
合计
30
70
100
，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；
记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是．
根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．
假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．
列举法确定基本事件，即可求出概率．
本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．
22.Ⅰ把曲线的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程；
把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程即可；Ⅱ由点是圆的圆心得线段PQ是圆的直径，从而得
；
在极坐标系下，设，，分别代入椭圆方程中，求出，的值，求和即得的值．
本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程、极坐标方程化为普通方程，明确参数以及极坐标中各个量的含义，是较难的题目．