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- 2021-06-19 发布
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兴仁市凤凰中学2022届高一第一学期第二次月考（数学）试题
一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.
详解】依题意.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.
2.下列函数中是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】A选项对应函数为偶函数，C、D两个选项对应函数为非奇非偶函数，B选项对应函数为奇函数.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题.
3.已知，则函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得的定义域.
【详解】依题意，解得且，所以的定义域为.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
4.下列四组函数中,与相等的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
分析】
判断每个函数的定义域和对应法则，都相同就可判断为相同函数.
【详解】A. ，，解析式不一样；
B. ，定义域为，，定义域为，定义域不同；
C. ，定义域为，，定义域为，定义域不同；
D. ，，定义域和对应法则均相同.
故选D.
【点睛】本题考查相同函数的概念，必须要定义域和对应法则都相同才能是相同函数，是基础题.
5.已知函数是奇函数，且在[3,5]上是增函数，，则下列描述正确的是（ ）
A. 在[-5,-3]上增函数，且有最大值-2 B. 在[-5,-3]上是增函数，且有最小值-2
C. 在[-5,-3]上是减函数，且有最大值-2 D.
在[-5,-3]上是减函数，且有最小值-2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质，结合函数的单调性，判断出正确选项.
【详解】由于是奇函数，在上递增且最大值为，所以在上递增，且最小值为.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的最值，属于基础题.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式的性质、指数函数、对数函数的单调性等知识，对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，由，得，故无法判断的符号，A选项不正确.
对数B选项，根据在上递减，且，所以，故B选项正确.
对数C选项，根据在上递减，且，所以，故C选项错误.
对于D选项，由于，所以，故D选项错误.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.
7.当时，的图象与的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的图像与性质，选出正确选项.
【详解】由于，所以在上递减，且过.在上递增，且过，由此判断A选项正确.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数图像的识别，属于基础题.
8.三个数，，之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：，，所以.
考点：比较大小．
9.函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.
【详解】因为为增函数,且,
根据零点存在性定理知的零点在区间内.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.
10.已知函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数真数大于零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】依题意，即，解得.所以函数定义域为.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
11.已知，则的值为（ ）
A. 16 B. 16或14 C. 14 D. 12
【答案】C
【解析】
分析】
将已知条件两边平方和，化简求得所求表达式的值.
【详解】由两边平方得.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查指数幂运算，完全平方公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
12.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数，结合函数的单调性，化简所求不等式，由此求得不等式的解集.
【详解】依题意的定义域为，且，所以为偶函数.当时，为增函数.所以当时，为减函数.故由得，两边平方并化简得，解得.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性解函数不等式，属于基础题.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.化简求值：________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数运算公式换件所求表达式.
【详解】依题意，原式.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.
14.已知函数,且,则_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简，由此求得的值.
【详解】依题意，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查求函数值，考查整体代换的思想，属于基础题.
15.已知函数则函数的零点是_______________.
【答案】或
【解析】
【分析】
令，求得函数的零点.
【详解】令，得，解得或.
故答案为：或
【点睛】本小题主要考查二次函数零点的求法，属于基础题.
16.某种计算机病毒通过电子邮件进行传播，如果一台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第一轮病毒感染，那么被第4轮病毒感染的计算机有________台.
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数模型，求得第轮病毒感染的计算机台数.
【详解】第轮台，第轮台，第轮，第轮台.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查指数函数模型的运用，属于基础题.
三、解答题（本题共6小题，第17小题满分10分，第18至22小题每题满分12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.已知全集，函数的定义域为集合，集合
（1）求集合；
（2）求.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合（2）先根据数轴求，再根据数轴求交集
试题解析：（1）由题意可得：，则
（2）
18.化简求值：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据指数运算，化简所求表达式.
（2）根据对数运算，化简所求表达式.
（3）根据指数、对数运算，化简所求表达式.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
19.已知函数，
(1)在给定坐标系中画出函数的大致图象；
(2)令，若函数有且仅有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数解析式，画出函数的图像.
（2）令，结合（1）中函数的图像，以及与有个交点，求得的取值范围.
【详解】（1）根据分段函数解析式，画出函数的图像如下图所示：
（2）令，依题意与有个交点，由（1）中的图像可知，的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
20. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价增加10元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用．房间定价多少时，宾馆利润最大？
【答案】每天的定价为350元时,宾馆利润最大；
【解析】
试题分析：由题可知，设出每天房价的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，对其求导，利用导数判断单调性，由单调性可知，当时，函数取得最大值，即当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大；
试题解析：设每个房间每天的定价为元，那么宾馆利润
，令，解得，当时，，当时，，
因此,时是函数的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大
考点：运用二次函数解决实际问题
21.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.
（1）计算，；
（2）求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质求得，根据奇函数的定义求得.（2）先令，得到，然后根据奇函数求得函数时的解析式，进而求得函数在上的解析式.
【详解】（1）∵是上的奇函数，
∴
因为是上的奇函数，又时，
所以.
（2）当时，
因为当时，
所以
又∵函数是上的奇函数，即
∴
又
.
【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查奇函数的定义和性质，属于基础题.
22.已知，
(1)求函数的定义域；
(2)令,用函数单调性的定义证明：函数与均为增函数；
(3)当时，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据对数真数大于零，求得函数的定义域.
（2）先利用单调性的定义，证得的单调性，由此证得的单调性.
（3）解对数不等式求得的取值范围.
【详解】（1）由，解得，所以函数的定义域为.
（2）任取.则，故在上为增函数，且，故.
，所以在上为增函数.故函数与均为上的增函数
（3）由，得，即，解得，所以的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.