【三维设计】2017届高三数学（理）二轮复习（通用版）课余自主加餐训练+（二）数列专练 3页

‎ (二)数列专练 ‎1．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．‎ ‎2．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.‎ ‎3．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎4．设数列{an}的各项均为正数，且a1，22，a2，24，…，an，22n，…成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sk≥30(2k＋1)，求正整数k的最小值．‎ 答 案 ‎1．解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，故q＝.‎ 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝‎ ‎－(1＋2＋…＋n)＝－.‎ 故＝－＝－2.‎ ＋＋…＋＝－2[＋＋…＋]＝－.‎ 所以数列的前n项和为－.‎ ‎2．解：(1)设等差数列{an}的公差是d.‎ ‎∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，‎ ‎∴d＝－3，‎ ‎∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.‎ ‎(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，‎ ‎∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，‎ ‎∴bn＝3n－2＋qn－1.‎ ‎∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，‎ 故当q＝1时，Sn＝＋n＝； ‎ 当q≠1时，Sn＝＋.‎ ‎3．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，‎ 由题意，得 解得 所以an＝2n.‎ ‎(2)因为bn＝＝，‎ 所以Tn＝＋＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ 所以Tn＝＋＋＋＋…＋－ ‎＝－＝－，‎ 故Tn＝－.‎ ‎4．解：(1)设等比数列的公比为q，则q2＝＝22，又由题意q>0，故q＝2，从而an＝＝22n－1，即数列{an}的通项公式为an＝22n－1.‎ ‎(2)由(1)知a1＝2，数列{an}是以22为公比的等比数列，故Sn＝＝(22n－1)．‎ 因此不等式Sk≥30(2k＋1)可化为(22k－1)≥30(2k＋1)，‎ 即(2k－1)(2k＋1)≥30(2k＋1)，‎ 因为2k＋1>0，所以2k≥46，即k≥log246.‎ 又5