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- 2021-06-19 发布
课时分层训练(三十六)
直接证明与间接证明
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有( )
A．2个 B.3个
C．4个 D.5个
D [由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]
2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c至多有一个是偶数
B．假设a，b，c至多有两个偶数
C．假设a，b，c都是偶数
D．假设a，b，c都不是偶数
D [“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]
3．若a，b，c为实数，且aab>b2
C.< D.>
B [a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，
∴a2>ab.①
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②
由①②得a2>ab>b2.]
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B.a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D.(a－b)(a－c)<0
C [由题意知0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]
5．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B.至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
C [因为x>0，y>0，z>0，
所以＋＋＝＋＋≥6，
当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]
二、填空题
6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________．
x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]
7．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________.
【导学号：01772229】
m⇐a0，显然成立．]
8．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥
2成立的条件的个数是__________．
【导学号：01772230】
3 [要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]
三、解答题
9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
【导学号：01772231】
[证明] 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.8分
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.12分
10. (2017·南昌一模)如图651，四棱锥SABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，M，N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB.
图651
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)证明：DE⊥平面SBC.
[证明] (1)连接AC，∵M，N分别为SA，SC的中点，∴MN∥AC，
又∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD.5分
(2)连接BD，∵BD2＝12＋12＝2，BC2＝12＋(2－1)2＝2，
BD2＋BC2＝2＋2＝4＝DC2，∴BD⊥BC.
又SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴SD⊥BC，
∴SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SDB.8分
∵DE⊂平面SDB，∴BC⊥DE.
又BS＝＝＝，
当SE＝2EB时，EB＝，
在△EBD与△DBS中，＝＝，＝＝，
∴＝.10分
又∠EBD＝∠DBS，∴△EBD∽△DBS，
∴∠DEB＝∠SDB＝90°，即DE⊥BS，
∵BS∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
【导学号：01772232】
A．A≤B≤C B.A≤C≤B
C．B≤C≤A D.C≤B≤A
A [∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．
∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.]
2．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足__________．
a2>b2＋c2 [由余弦定理cos A＝<0，得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.]
3．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.2分
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.5分
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即10分
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在.12分