数学（理）卷·2017届安徽省皖南八校高三第二次联考（12月）（2016 11页

安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考（12月） ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设，则（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）‎ A．16 B．17 C．18 D．19 ‎ ‎4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则为（ ）‎ A． B．1 C.2 D．4‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6.的展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．-30 C.-10 D．-20‎ ‎7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）‎ A．-1 B．0 C.7 D．1‎ ‎8.已知函数，则的一个单调递减区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ） ‎ ‎ ‎ A. B． ‎ C. D．‎ ‎10.若实数满足不等式组，则的最小值是（ ）‎ A．8 B．4 C. 6 D．2‎ ‎11.某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）‎ A．4 B． C. D．2‎ ‎12.下列命题为真命题的个数是（ ）‎ ‎①；②；③；④‎ A．1 B．2 C. 3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，若，则 ．‎ ‎14.如图，四棱锥中，，四边形为正方形，，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 ．‎ ‎15.设（为自然对数的底数），任取，则满足 的概率是 （结果用表示）．‎ ‎16.设是等差数列的前项之和，若，（为常数），则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为，的面积为，若.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.‎ ‎（Ⅰ）求男生闯过四关的概率；‎ ‎（Ⅱ）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，，，，且在平面上的射影在线段上.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）设二面角为，求的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，点，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上非顶点的三点，直线的斜率分别为，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若对定义域内任意，成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：对，不等式恒成立.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，的极坐标方程.‎ ‎（Ⅰ）说明是哪种曲线，并将的方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）与有两个公共点，顶点的极坐标，求线段的长及定点到两点的距离之积.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.2 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）因为，所以 化简得：，又，.‎ ‎18.解：（Ⅰ）记男生四关都闯过为事件，则 ‎.‎ ‎（Ⅱ）记女生四关都闯过为事件，则 ‎，‎ 因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列如下：‎ ‎.‎ ‎19.（Ⅰ）证明：，，，‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎（Ⅱ）解：（法一）作垂足为，连接，‎ 则为二面角的平面角.‎ 在中，，，，‎ ‎，，，‎ 在中，，，‎ ‎，‎ ‎，又，，又，，‎ ‎.‎ ‎（法二）在中，，，，‎ ‎，，，‎ 在中，，，‎ 又，，又，，‎ 如图建立直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ 平面的法向量为，‎ 平面的法向量为，‎ ‎.‎ ‎20.解：（Ⅰ）‎ 椭圆.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 的面积为定值1.‎ ‎21.（Ⅰ）解：的导数为，‎ 令得，‎ 所以，‎ 恒成立，，即，所以.‎ ‎（Ⅱ）证明：的导数为，‎ 易知在上为增函数.‎ 欲证明，‎ 从图像分析可先证，‎ 先证明，，‎ 即证：‎ 设，，‎ ‎，‎ 所以在内为减函数，‎ 所以，故对于成立，‎ 欲证即证：，‎ 令，‎ ‎，‎ 所以在内为增函数，‎ 故成立.‎ 综上：对，不等式恒成立.‎ ‎22.解：（Ⅰ）是圆，的极坐标方程，‎ 化为普通方程：即：.‎ ‎（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线上，‎ 将的参数方程为（为参数）代入中得：‎ 化简得：‎ ‎.设两根分别为，‎ 由韦达定理知：‎ 所以的长，‎ 定点到两点的距离之积.‎ ‎23.解：（Ⅰ）‎ 所以：当时，；当时，；当时，.‎ 综上，的最小值是3.‎ ‎（Ⅱ），‎ 令 ‎①解得：，‎ ‎②解得：，‎ ‎③解得：.‎ 综上，不等式的解集为：.‎