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- 2021-06-19 发布
2017-2018学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中考试
数 学（理科）
2018．04
出卷人： 校对人：
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1、___▲ _
2、已知复数（是虚数单位），则||= ▲ _
3、已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．
由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 ▲ _
4、观察式子，，，……，则可以归纳出
▲
5、若向量，满足条件，则 ▲
6、对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 _ ▲ _
7、用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得的结果是 ▲
8、复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对
应的复数为，则点对应的复数是 ▲
9、设平面的法向量为，平面的法向量为，若∥，则的值为 ▲
10、从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有___▲___种．
（用数字作答）
11、用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为 ▲
12、某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排
在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有___ ▲____
13、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式
中，“……”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则 ▲
14、如图所示，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段
上，分别为的中点．设异面直线和所成的角为，则的最大
值为 ▲
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知复数
（1）当实数为何值时，复数为纯虚数 （2）当时，计算.
16. （本小题满分14分）
（1）求证：；
（2）已知且，求证：中至少有一个小于．
17．（本小题满分14分）
A
E
F
B
C
D
H
如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，
为的中点.（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面.
18．（本小题满分16分）
如图，在长方体中，点是棱的中点，点 在棱上，且（为实数）．（1）求二面角的余弦值；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线与直线不可能垂直．
19. （本小题满分16分）
某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和； （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.
20.（本小题满分16分）
观察如图：
1，
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15
……
问：（1）此表第行的最后一个数是多少？ （2）此表第行的各个数之和是多少？
（3）2018是第几行的第几个数？
（4）是否存在，使得第n行起的连续10行的所有数之和为若存在， 求
出的值；若不存在，请说明理由．
扬州市邗江区2017-2018学年度第二学期期中试卷
高 二 数 学 （理） 答 案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 20； 2. ； 3. 正方形的对角线相等；
4. ； 5. ； 6.假设至少有两个钝角 ； 7、；
8. ， 9. 10. ； 11. ；
12. 624； 13. ； 14.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、解：（1）复数
.................. 4分
.................. 6分
即 .................. 7分
（2） ..................14分
16．解：（1）证明：因为和都是正数，所以为了证明，
只要证 ，只需证：， .......... 3分
即证: ，即证: ，即证: 21， ........... 6分
因为21<25显然成立，所以原不等式成立．................. 7分
（2）证明：假设都不小于2，则 ．................. 10分 ， 即 ......
13分
这与已知矛盾，故假设不成立，从而原结论成立. ...... 14分
17. (1) 如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立
空间直角坐标系，
令则 .....2分
（1） 设与的交点为，连接则，
∴ .............................4分
又∵，∴∥，.......... 6分
平面平面，∴∥平面........7分
（2）∵
∴∴.......... 10分
又，且 ，∴平面.......... 14分
18. 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
则，....................2分
设平面的法向量为，
则．即．令，则．
∴平面的一个法向量．又平面的一个法向量为．．....4分
故，即二面角的余弦值为................5分
（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．
所以．.................................8分
因为 ，所以为锐角，
从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．....................10分
(3)假设，则．．....................12分
∵，
∴，．．....................14分
∴．化简得．
该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．．.............16分
19解：（1），.．...........................4分
（2）因为，所以，，
，由此猜想：当时，都有，即.
下面用数学归纳法证明（）. ...........................6分
① 时，该不等式显然成立. ..................................... ..8分
②假设当时，不等式成立，即，. ...............10
分
则当时，，
要证当时不等式成立.只要证：，
只要证：.. ............................................. ...13分
令，因为，所以在上单调递减，
从而，而，所以成立.
则当时，不等式也成立. ....................................... ...15分
综合①、②得原不等式对任意的均成立............................ ...16分
20. 解：（1）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律：
由此得出第行的第一个数为：，共有个，
所以此表第n行的最后一个数是. .................................... 3分
（2）由（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有个数，从而利用等差数列的求和公式得：
第n行的各个数之和........ 6分
（3）由（1）可知第n行的最后一个数是.
当时，最后一个数字为， 当时，最后一个数字为，
所以在第行，， 故2018是第12行的第995个数；
（4）第行起的连续行的所有数之和
又…………（*）， 故
时（*）式成立.
时，由（*）可得，
此等式左边为偶数，右边为奇数，不成立.
故满足条件的. ........... ........................... .... 16分