- 1.05 MB
- 2021-06-19 发布
2019-2020学年度高二第一次月考数学试卷
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B等于( )
A. {x|x>0} B. {x|x>1}
C. {x|11}，所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．
2.已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．
【详解】因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
，故角的最小正值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．
3.已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于（ ）
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
【答案】C
【解析】
试题分析：由等差数列的性质知，，所以，又，解得：，故选C．
考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式．
4.若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则的最小值是( )
A. B. 1 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先将对数式化指数式，再根据基本不等式即可求出．
【详解】由得，所以
，
当且仅当时取等号，故的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对数的性质以及基本不等式中“1的代换”的应用，属于基础题．
5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线线、线面关系的定义、性质、结论和判定定理对各项逐个判断即可．
【详解】对于A，若，则与可能平行，可能相交，可能异面，所以A错误；
对于B，根据线面垂直的定义可知，正确；
对于C，若，则或，所以C错误；
对于D，若，则可能垂直于，也可能，也可能，所以D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查空间线线、线面关系的判断，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力，属于中档题．
6.若点（1，1）在圆的内部，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
因为点（1，1）在圆内部，所以,解之得.
7.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A. a<－2或a> B. －＝0 AND x<＝2 THEN
y＝0.5 *x^2
ELSE
IF x<＝5 THEN
y＝2*x-2
ELSE
y =-0.5*(x-7) ^2+10
END IF
END IF
PRINT y
END
【点睛】本题主要考查分段函数解析式的求法、程序框图的画法以及程序语句的书写，意在考查学生分类讨论思想和算法语句的理解和书写．
18.在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上,则圆的方程为 .
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据题意令y=0，可知，
同时令x=0,得到函数与y轴的交点坐标为（0，1），
那么利用圆的性质可知，与x轴的两个根的中点坐标即为圆心的横坐标为3，
设圆心为：，则，解得
因此可知圆的方程为，故答案为．
考点：本试题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．
点评：解决该试题的关键是确定出交点的坐标，然后结合交点坐标，得到圆心坐标和圆的半径，进而秋季诶圆的方程，属于基础题．
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）证明AE⊥平面PCD．
【答案】（1）45°；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先找出PB和平面PAD所成的角，再进行求解即可；
（2）可以利用线面垂直根据二面角定义作角，再证明线面垂直．
（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥PA．
因为CD⊥AC，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC．
又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．
又PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
20.设是上的奇函数，，当时，.
（1）求的值；
（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由可推出函数是以4为周期的周期函数，
再利用函数的周期性及奇偶性可得，
再利用函数在上的解析式即可得解，
（2）由函数周期性、奇偶性及函数在上的解析式，作出函数在的图像，再求的图象与轴所围成图形的面积即可.
【详解】解：（1）由得，
，
所以是以4为周期的周期函数，
所以.
（2）由是奇函数且，
得，
即.
故知函数的图象关于直线对称.
又当时，，且的图象关于原点成中心对称，则的图象如下图所示.当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.
【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考查了函数性质的应用，重点考察了作图能力，属中档题.
21.已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【解析】
试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
22.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn＋1=4an＋2.
(1)设bn=an＋1−2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】(1)见解析；(2) an=(3n−1)·2n−2.
【解析】
(1)由a1=1及Sn＋1=4an＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.
∴a2=5，
∴b1=a2−2a1=3.
又
①−②，得an＋1=4an−4an−1，
∴an＋1−2an=2(an−2an−1)．
∵bn=an＋1−2an，
∴bn=2bn−1，
故{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列.
(2)由(1)知bn=an＋1−2an=3·2n−1，
∴−=，
故是首项为，公差为的等差数列．
∴=＋(n−1)·=，
故an=(3n−1)·2n−2.