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- 2021-06-19 发布
第三讲 不等式及线性规划
[必记公式]
1．a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b)．
2．ab≤2(a，b∈R)．
3. ≥≥≥(a>0，b>0)．
4．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．
[重要结论]
1．不等式的四个性质
注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如
(1)a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd.
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(4)a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
2．四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)简单分式不等式的解法
>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)简单指数不等式的解法
当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；
当0ag(x)⇔f(x)1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；
当0logag(x)⇔f(x)0，g(x)>0.
3．判断二元一次不等式表示的平面区域的方法
在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点(x0，y0)，通过Ax0＋By0＋C
的符号来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．
[失分警示]
1．忽略限制条件致误：应用不等式的性质时，要注意限制条件．
2．注意符号成立的条件：用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立．
3．忽略基本不等式求最值的条件致误：利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．
4．解分式不等式时，直接把分母乘到另一边，不注意分母的取值范围致误．
5．线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清．
6．y＝－x＋中截距符号弄反，导致平移时上下方向错误．
考点 不等式的性质及解法
典例示法
典例1 (1)[2016·合肥质检]函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) B．[－ln 2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D.
[解析] 本题主要考查二次函数与指数函数的性质．如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x B．ln (x2＋1)>ln (y2＋1)
C．sinx>siny D．x3>y3
[解析] 因为0y.对于选项A，取x＝2，y＝1，则<，显然A错误；对于选项B，取x＝－1，y＝－2，则ln (x2＋1)sinπ，显然C错误；对于选项D，若x>y，则x3>y3一定成立，故选D.
[答案] D
求解不等式的方法
(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
针对训练
1．[2016·石家庄质检(二)]函数f(x)＝
若f(x0)≤，则x0的取值范围是( )
A.
B.∪
C.∪
D.∪
答案 C
解析 ①当0≤x0<1时，2x0≤，x0≤log2，
∴0≤x0≤log2.
②当1≤x0≤2时，4－2x0≤，x0≥，
∴≤x0≤2，故选C.
2．[2014·江苏高考]已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 要满足f(x)＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需即
解得－0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，当且仅当b＝2a时成立，∴ab≥2.
解法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当时，取等号，选C.
[答案] C
题型2 基本不等式的综合应用
典例3 已知点A(0，－1)，B(3,0)，C(1,2)，平面区域P是由所有满足＝λ＋μ(2<λ≤m,2<μ≤n)的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则m＋n
的最小值为________．
[解析] 由题意知＝(3,1)，＝(1,3)，＝(－2,2)，
所以cosA＝＝＝，sinA＝.如图，延长AB至点G，延长AC至点E，使＝m，＝n，且＝2，＝2，作DK∥AB，EQ∥AB，FT∥AC，GQ∥AC，则四边形AFHD、四边形AGQE、四边形HKQT都是平行四边形．由题意可知点M组成的区域P为图中的阴影部分，即四边形HKQT及其内部，所以四边形HKQT的面积为|HK|·|HT|sinA＝(m－2)·(n－2)·＝16，即(m－2)·(n－2)＝2，mn－2m－2n＋2＝0，即2(m＋n)＝mn＋2，因为2(m＋n)＝mn＋2≤2＋2，所以(m＋n)2－8(m＋n)＋8≥0，所以m＋n≥4＋2或m＋n≤4－2(舍)，即m＋n的最小值是4＋2，此时m＝n＝2＋.
[答案] 4＋2
利用基本不等式解题应关注三方面
(1)利用基本不等式求最值的注意点
①在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．
②若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．
(2)求条件最值问题的两种方法
一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．
(3)结构调整与应用基本不等式
基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据
已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式，常见的转化方法有
①x＋＝x－a＋＋a(x>a)．
②若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数)．
③分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化为y＝m＋f(A,g(x))＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.
考点 简单的线性规划问题
典例示法
题型1 知约束条件求目标函数最值
典例4 [2016·天津高考]设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
[解析] 解法一：如图，
已知约束条件所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.
解法二：由题意知，约束条件所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．将A，B，C三点的坐标分别代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值为6.
[答案] B
题型2 知最值求参数
典例5 [2015·山东高考]已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
[解析] 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.故选B.
[答案] B
解决线性规划问题应关注三方面
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．
提醒：目标函数是线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关；若目标函数形如z＝，可考虑(x，y)与(a，b)两点连线的斜率；若目标函数形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方．
[全国卷高考真题调研]
1．[2015·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件则的最大值为________．
答案 3
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，
由可行域知，在点A(1,3)处，取得最大值3.
2．[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．
[其它省市高考题借鉴]
3．[2016·山东高考]若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
答案 C
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2，即x2＋y2取得最大值．由
解得故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.
4．[2015·陕西高考]设f(x)＝ln x,0p D．p＝r>q
答案 B
解析 ∵0，又f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故f()p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝f＝p，∴p＝rb>0，c B.<
C.> D.<
答案 D
解析 解法一：c0⇒<<0⇒<<0⇒⇒>⇒<.
解法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A、B、C均错，只有D正确．
6．[2014·上海高考]若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
答案 2
解析 ∵x2＋2y2≥2＝2xy＝2，当且仅当x＝y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2.
一、选择题
1．[2016·青海西宁二模]已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案 C
解析 当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；对于C，由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以>成立，C正确；当a<0且b<0时，可知D不正确．
2．[2016·北京平谷统考]已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 对于①，∵ab>0，bc－ad>0，∴－＝>0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又－>0，即>0，∴bc－ad>0，∴②正确；对于③，∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正确．故选D.
3．[2015·浙江金华期中]若对任意的x∈[0,1]，不等式1－kx≤≤1－lx恒成立，则一定有( )
A．k≤0，l≥ B．k≤0，l≤
C．k≥，l≤ D．k≥，l≤
答案 D
解析 当k＝－1且x∈[0,1]时，1－kx＝1＋x∈[1,2]，∈
，不等式1－kx≤不恒成立，可排除A、B；当k＝且x∈[0,1]时，1－kx＝1－x∈，∈，不等式1－kx≤不恒成立，排除C，故选D.
4．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
答案 D
解析
由题意作出y＝|f(x)|的图象：
当a>0时，y＝ax与y＝ln (x＋1)的图象在x>0时必有交点，所以a≤0.当x≥0时，|f(x)|≥ax显然成立；当x<0时，|f(x)|＝x2－2x，|f(x)|≥ax恒成立⇒a≥x－2恒成立，又x－2<－2，∴a≥－2.∴－2≤a≤0，故选D.
5．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
答案 A
解析
解法一：当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0，①
当x>0时，－x＋2≥x2，∴00，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
答案 B
解析 画出可行域，如图所示，
由得A(1，－2a)，则直线y＝z－2x过点A(1，－2a)时，z＝2x＋y取最小值1，
故2×1－2a＝1，解得a＝.
7．[2015·陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
答案 D
解析 设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得x，y满足：不等式组表示的可行域是以O(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过点B(2,3)时，z
取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．
8．[2016·山东潍坊模拟]一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意得3a＋2b＝2，
＋＝×＝
≥3＋ ＋＝3＋2＋＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号．故选D.
9．[2016·兰州双基过关]已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
答案 A
解析
如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20.
又AC2＋BD2≥2AC·BD，则AC·BD≤10，∴S四边形ABCD＝AC·BD≤×10＝5，当且仅当AC＝BD＝时等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为5.
10．[2016·山东菏泽一模]已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2
－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8
C．4 D．2
答案 A
解析 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得
x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2 ＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
二、填空题
11．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
答案 (－7,3)
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
又x≥0时，f(x)＝x2－4x，
∴不等式f(x＋2)<5⇒f(|x＋2|)<5
⇒|x＋2|2－4|x＋2|<5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)<0⇒|x＋2|－5<0⇒|x＋2|<5⇒－50，b>0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．
答案
解析 因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数z＝ax＋by过点(4,6)时取最大值，则4a＋6b＝10.a2＋b2的几何意义是直线4a＋6b＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么最小值是点(0,0)到直线4a＋6b＝10距离的平方，即a2＋
b2的最小值是.
13．[2015·辽宁沈阳质检]若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
答案 3＋2
解析 直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值．由直线l经过点(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，因为＋≥2 ＝2，所以a＋b≥3＋2.
14．[2016·广东实验中学模拟]已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 ∪[1，＋∞)
解析 对于函数f(x)＝
当x≤1时，f(x)＝－2＋≤；
当x>1时，f(x)＝logx<0.
则函数f(x)的最大值为.
则要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，则m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.