数学理卷·2017届河北省唐山市高三下学期第二次模拟考试（2017 10页

唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ）‎ A．平均数为64 B．众数为7 C．极差为17 D．中位数为64.5 ‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知双曲线过点，渐进线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.函数，的最小值为0，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7 ‎ ‎9.已知，均为锐角，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎10.已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.正方体棱长为6，点在棱上，且，过点的直线与直线，分别交于，两点，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）‎ A． B． C．为减函数 D．为增函数 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.展开式中，含项的系数是 ．‎ ‎14.平行四边形中，为的中点，若，则 ．‎ ‎15.已知椭圆：的右焦点为，上、下顶点分别为，，直线交于另一点，若直线交轴于点，则的离心率是 ．‎ ‎16.在中，，，是的一个三等分点，则的最大值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.数列的前项和为，，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：‎ 项目 生产成本 检验费/次 调试费 出厂价 金额（元）‎ ‎1000‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎3000‎ ‎（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；‎ ‎（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润出厂价生产成本检验费调试费）；‎ ‎（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生产两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望．‎ ‎19.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，点在底面内的射影在线段上，且，，‎ 为的中点，在线段上，且． ‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积．　‎ ‎20.已知的顶点，点在轴上移动，，且的中点在轴上.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知轨迹上的不同两点，与的连线的斜率之和为2，求证：直线过定点．‎ ‎21.已知函数的图象与轴相切，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线相交于，两点，点，求．　‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当，时，.‎ 唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.49 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由，可得（），‎ 两式相减，得，‎ ‎，即，‎ 故是一个以1为首项，为公比的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎，①‎ ‎ ，②‎ ‎①②，得，‎ 所以．‎ ‎18.解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件，则，‎ 所以每台仪器能出厂的概率．‎ ‎（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率．‎ ‎（Ⅲ）可取，，，，，．‎ ‎，，，，，．‎ 的分布列为：‎ ‎3800‎ ‎3500‎ ‎3200‎ ‎500‎ ‎200‎ ‎．‎ ‎19.（Ⅰ）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，‎ ‎，在中，，，，由余弦定理得．　‎ 所以，从而有.‎ 在中，，分别是，的中点，‎ 则，，‎ 因为，所以.‎ 由平面，平面，‎ 得，又，，‎ 得平面，又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.‎ 平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ 由，，得令，得.‎ 由题意可得，，‎ 解得，‎ 所以四棱锥的体积. ‎ ‎20.解：（Ⅰ）设（），因为在轴上且中点在轴上，所以，由，得，‎ 化简得，所以点的轨迹的方程为（）．　‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，‎ 由得，‎ 所以，‎ ‎，同理，‎ 所以，化简得，‎ 又因为，所以，‎ 所以直线过定点. ‎ ‎21.解：（Ⅰ），‎ 设的图象与轴相交于点，‎ 则即 解得．‎ 所以，‎ 等价于．‎ 设，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以，‎ 即，（*），所以．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由（Ⅰ）可知，当时，，‎ 从而有，所以单调递增，‎ 又，所以，‎ 从而有，即，‎ 所以，即，‎ ‎，‎ 又，所以，‎ 又，所以．‎ 综上可知，．‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为．　‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入的直角坐标方程整理得：，‎ ‎，‎ 由的几何意义可知：. ‎ ‎23.解：（Ⅰ）‎ 由的单调性及得，或．　‎ 所以不等式的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 从而有．　‎