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- 2021-06-19 发布
2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A
2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}
3．设函数，则f[f（2）]=（ ）
A． B．2e2 C．2e D．2
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）
A．线性相关关系较强，b的值为1.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
5．下列结论中，正确的是（ ）
①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；
②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；
③命题p：y=ax（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；
④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．﹣
8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（ ）
A．[，1） B．（，1） C．[，） D．（0，）
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
11．设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1•cosx﹣an+2sinx满足若，则数列{cn}的前n项和Sn为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（0，]∪（5，+∞） B．（0，）∪[5，+∞） C．（，]∪（5，7） D．（，）∪[5，7）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为 ．
14．设等差数列{an}满足，其前n项和为Sn，若数列也为等差数列，则的最大值为 ．
15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是 ．
16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的值．
18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求a+b=7的概率；
（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；
（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．
19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．
（1）求证：A1D⊥EC；
（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．
20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=．
（1）求p，t的值；
（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=（S△OAB表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知函数 f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．
请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]
22． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=2，AE=，求CD．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．
[选修4-5，不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．
（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；
（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．
2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，
【解答】解：∵，
，
i5=i4•i=i，
|﹣i|=1．
又A={﹣1，i}，
∴i5∈A．
故选：C．
2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．
【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，
∴x（x﹣2）＜0，
∴0＜x＜2；
∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；
又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），
∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；
故选D．
3．设函数，则f[f（2）]=（ ）
A． B．2e2 C．2e D．2
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（2）==﹣1，由f[f（2）]=f（﹣1），能求出结果．
【解答】解：∵，
∴f（2）==﹣1，
f[f（2）]=f（﹣1）=2e﹣1+1=2．
故选：D．
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）
A．线性相关关系较强，b的值为1.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
【考点】散点图．
【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．
【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，
且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，
∴回归直线的斜率小于1，
故结论最有可能成立的是B，
故选：B．
5．下列结论中，正确的是（ ）
①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；
②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；
③命题p：y=ax（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；
④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③错误；直接写出特称命题的否定判断④．
【解答】解：①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；
②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，
由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；
③命题p：y=ax（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；
④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．
∴正确的命题是①②④．
故选：C．
6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．
【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，
∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．
故选：B．
7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．﹣
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，
由于sin+sin+…+=0（k∈Z），2015=335×6+5，
所以S=sin+sin+…+sin=sin+sin+…+sin=0，
故选：A．
8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（ ）
A．[，1） B．（，1） C．[，） D．（0，）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．
【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．
设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．
该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．
联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，
则，解得，
∵0＜x＜a，∴，
化为c2＞b2=a2﹣c2，
∴，又1＞e＞0．
解得．
∴该椭圆的离心率e的范围是．
故选：C．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，
其直观图如下图所示：
故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，
帮选：A
10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由题意可知： =，设=λ， =+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m的值．
【解答】解：N为线段AC上接近A点的四等分点，
∴=，
设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，
∵=m+，
∴，即λ=，m=，
故答案选：A．
11．设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1•cosx﹣an+2sinx满足若，则数列{cn}的前n项和Sn为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】依题意，可求得an﹣2an+1+an+2=0，于是知数列{an}是等差数列，设其公差为d，由a1=1，a2+a4=6，可求得an=n，于是知cn=an+=n+，利用分组求和的方法即可求得答案．
【解答】解：∵f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1•cosx﹣an+2sinx，
∴f′（x）=an﹣an+1+an+2﹣an+1•sinx﹣an+2cosx，
=an﹣2an+1+an+2，
∵f′（）=0，
∴an﹣2an+1+an+2=0，即2an+1=an+an+2，
∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∵a2+a4=6，
∴2a1+4d=6，a1=1，
∴d=1，
∴an=1+（n﹣1）×1=n，
∴cn=an+=n+，
∴Sn=c1+c2+…+cn
=（1+2+…+n）+（++…+）
=+
=﹣．
故选：C．
12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（0，]∪（5，+∞） B．（0，）∪[5，+∞） C．（，]∪（5，7） D．（，）∪[5，7）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．
【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，
，
结合图象可知，
，
故a＞5；
当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，
，
结合图象可知，
，
故0＜a≤．
故选A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为 ﹣1或﹣5 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．
【解答】解：令x=1，则（a+3）n的展开式的系数和为256，
据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n
∴2n=256，
∴n=8，
∴a+3=±2，
解得a=﹣1或﹣5．
故答案是：﹣1或﹣5．
14．设等差数列{an}满足，其前n项和为Sn，若数列也为等差数列，则的最大值为 121 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，则=+，可得=1+，解得d，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得an，Sn+10，进而得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则=+，∴=1+，解得d=2，
∴Sn+10=（n+10）×1+×2=（n+10）2， =[1+2（n﹣1）]2=（2n﹣1）2．
∴===≤121，当n=1时取等号，
∴的最大值为121．
故答案为：121．
15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由题意知：可行域如图，
又∵m（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立．
且m≤=1+=1+=1+，
故只求z=的最大值即可．
设k=，则有图象知A（2，3），
则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，
由图象可知即1≤k≤，
∵z=k+在1≤k≤，
上为增函数，
∴当k=时，z取得最大值z=+=，
此时1+=1+=1+=，
故m≤，
故m的最大值为，
故答案为：
16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是 k≥1 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】当x＞0时， =，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求
【解答】解：∵当x＞0时， ==2e
∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e
∵
∴=
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e
∵恒成立且k＞0，
∴
∴k≥1
故答案为k≥1
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的值．
【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c的值．
【解答】解：（Ⅰ）由，
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．
于是=．
（Ⅱ）由．
由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，
得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，
则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．
18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求a+b=7的概率；
（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；
（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．
（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．
（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．
【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．
∴P（a+b=7）==．
（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），
∴P（B）==．
（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．
∴P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．
P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．
ξ
0
1
2
3
P（ξ）
∴E（ξ）=3×=．
19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．
（1）求证：A1D⊥EC；
（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．
【分析】（1）等边△ABC的边长为3，且==，求得AD和AE的值．进而由余弦定理得DE，根据AD2+DE2=AE2，判断AD⊥DE折叠后A1D⊥DE，根据平面A1DE⊥平面BCED，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A1D⊥平面BCED，进而可知A1D⊥EC．
（2）作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，推断出A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH⊥平面A1BD，推断出∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设出PB，分别表示出BH，PH，DH进利用勾股定理求得A1H的表达式，继而在Rt△PA1H中，表示出tan∠PA1H，对x进行分类讨论，利用函数的思想求得tan∠PA1H的最大值．
【解答】证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且==，
所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE==．
因为AD2+DE2=AE2，
所以AD⊥DE．
折叠后有A1D⊥DE，
因为平面A1DE⊥平面BCED，又平面A1DE∩平面BCED=DE，
A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，所以A1D⊥平面BCED
故A1D⊥EC．
（2）如图，作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，
由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，
所以A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，所以PH⊥平面A1BD，
所以∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，
设PB=x（0≤x≤3），则BH=，PH=，DH=BD﹣BH=2﹣
所以A1H==
所以在Rt△PA1H中，tan∠PA1H==
①若x=0，则tan∠PA1H===0，
②若x≠0则tan∠PA1H===
令=t（t≥），y=20t2﹣8t+1
因为函数y=20t2﹣8t+1在t≥上单调递增，所以ymin=20×﹣+1=
所以tan∠PA1H的最大值为=（此时点P与C重合）
20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=．
（1）求p，t的值；
（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=（S△OAB表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，进而可得t值；
（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A，B的坐标，进而可得E的坐标，利用S△OAB=，即可得出结论．
【解答】解：∵点 P（1，t）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，|PF|=，
∴1+=，
解得：p=1，
故抛物线的方程为：y2=2x，
将x=1代入可得：t=±；
（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．
设直线OA的方程为y=kx（k＞0），OA⊥OB，直线OB的方程为y=﹣x．
由，得k2x2=2x，∴x=0（舍去）或x=，即A（，）．
同理B（2k2，﹣2k）．
∵k=1时，AB⊥y轴，不符合题意，
∴直线AB的方程为y+2k=（x﹣2k2），
即y+2k=（x﹣2k2），
∴E（0，）．
∵S△OAB=，
∴|yA|+|yB|=|yE|，
∵yA，yB异号，
∴|yA|+|yB|=|yA﹣yB|=|yE|，
∴||=•||
∴k2=或2，
∴A（4，2）或A（1，），
由对称性，可得A（4，±2）或A（1，±）．
21．已知函数 f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；
（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；
（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，即求f（x）min≥k2+6k恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，
∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，
当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分
②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分
③当a＞1时，2a＞a+1，
∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，
由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，
因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分
∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，
∴f（e）﹣f（1）=．
设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，
∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．
∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分
若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，
即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．
∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分
请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]
22． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=2，AE=，求CD．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．
（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果
【解答】
（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA平分∠BDC．
∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD
∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE
∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE是⊙O的切线
（2）在△ADE和△BDA中，
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
由（1）得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED
∵AB=2
求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°
进一步求得：CD=2
故答案为：（1）略
（2）CD=2
[选修4-4，坐标系与参数方程]
23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．
【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；
（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．
【解答】解：（1）曲线，
可得：，
曲线C的普通方程：x2+y2=4．
直线=，
直线l的直角坐标方程：x+y﹣2=0．
（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，
，圆心C到直线的距离为1，
∴这三个点在平行直线l1与 l2上，如图：
直线l1与 l2与l的距离为1．
l1：x+=0，l2：x+﹣4=0．
，可得，，
两个交点（﹣，1），（，﹣1）；
，解得（1，），
这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）
[选修4-5，不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．
（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；
（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；
（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，
即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，
又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，
∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，
解得：k≥2；
（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，
当x≤2时，变形为5x＞6，
解得：x＞，
此时不等式解集为＜x≤2；
当2＜x＜3时，变形为3x＞2，
解得：x＞，
此时不等式解集为2＜x＜3；
当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，
此时不等式解集为x≥3，
综上，原不等式的解集为（，+∞）．
2016年11月3日