专题44 二项式定理-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 16页

专题44 二项式定理 ‎2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 ‎【高频考点解读】‎ ‎1.本部分在高考中经常考查，主要有求二项展开式中的某一特定项、特定项的系数、已知某项的值求参数值、赋值法求值、利用二项展开式作不等放缩或近似计算等 ‎2．命题形式多种多样，主要以选择题、填空题的形式出现，有时涉及函数与方程的思想方法　　‎ ‎【热点题型】‎ 热点题型一 求展开式中的指定项或特定项 ‎ 例1、已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项。‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求含x2的项的系数；‎ ‎(3)求展开式中所有的有理项。‎ ‎ ‎ ‎(3)根据通项公式，由题意得 令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，‎ ‎∵r∈Z，∴k应为偶数。‎ ‎∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8。‎ 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 C2x2，C5，C8x－2。‎ ‎【提分秘籍】‎ 解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。‎ ‎【举一反三】 ‎ 5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)‎ A．－1 B. C．1 D．2‎ 解析：由二项式定理，得Tr＋1＝Cx5－r·r＝C·x5－2r·ar，令5－2r＝3，得r＝1，由C·a＝10，解得a＝2。‎ 答案：D 热点题型二 二项式系数或项系数的和问题 例2、已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|。‎ 解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1。①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37。②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2。‎ ‎(2)(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094。‎ ‎(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093。‎ ‎(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零。‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，‎ ‎∴由(2)、(3)即可得其值为2 187。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ ‎(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100求下列各式的值：‎ ‎(1)a0；‎ ‎(2)a1＋a2＋…＋a100；‎ ‎(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；‎ ‎(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2。‎ ‎(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1。‎ 热点题型三 求最大系数或系数最大的项 例3．求(2＋x)10的展开式中系数最大的项。‎ 解析：设第r＋1项的系数最大，则有 即 即∴ ‎∴r＝3时，T4＝C·27·x3为所求的系数最大的项。‎ ‎【提分秘籍】‎ 求系数最大的项应注意与不等式相联系，同时还应重视整数解的寻找。解题时要审清题意，搞清所求最大项是指数值最大项，还是系数最大项，还是二项式系数最大的项。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x－)2n的展开式中，‎ ‎(1)二项式系数最大的项；‎ ‎(2)系数的绝对值最大的项。‎ 解析：由题意知，22n－2n＝992，‎ 即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5。‎ ‎(1)由二项式系数的性质知，(2x－)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252。‎ ‎(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，‎ ‎∵Tr＋1＝C·(2x)10－r·(－)r＝(－1)rC·210－r·x10－2r，‎ ‎∴得即解得≤r≤。‎ ‎∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，‎ T4＝－C·27·x4＝－15 360x4。‎ 热点题型四 证明整除或求余数问题 ‎ 例4、 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；‎ ‎(2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数。‎ 解析：(1)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，‎ 显然上式括号内为整数，‎ ‎∴原式能被31整除。‎ ‎(2)S＝C＋C＋…＋C＝227－1‎ ‎＝89－1＝(9－1)9－1‎ ‎＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，‎ ‎∵上式括号内的数是正整数，‎ ‎∴S被9除的余数为7。‎ ‎【提分秘籍】‎ 利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可。因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理。‎ ‎【举一反三】 ‎ 若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)‎ A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4‎ C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5‎ 解析：∵Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，‎ 代入验证选项可得答案C。‎ 答案：C ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.‎ ‎2.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ ‎1.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为 ‎（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4‎ ‎【答案】A ‎【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含 的项为，故选A.‎ ‎2.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。‎ ‎3.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】10‎ ‎4.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎【答案】－56‎ ‎【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56． ‎ ‎5.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】因为，所以由，因此 ‎1.【2015高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．‎ ‎2.【2015高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，‎ 所以二项式中奇数项的二项式系数和为.‎ ‎3..【2015高考重庆，理12】的展开式中的系数是________(用数字作答).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.‎ ‎4.【2015高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .‎ ‎【答案】6．‎ ‎【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入6．‎ ‎5.【2015高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）.‎ ‎【答案】-40.‎ ‎【解析】‎ ‎，所以的系数为.‎ ‎6.【2015高考天津，理12】在 的展开式中，的系数为 .‎ ‎【答案】‎ ‎7.【2015高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.‎ ‎8.【2015高考福建，理11】 的展开式中，的系数等于 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】 的展开式中项为，所以的系数等于80．‎ ‎9.【2015高考北京，理9】在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】利用通项公式，，令，得出的系数为 ‎10.【2015高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由已知得，故 的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．‎ ‎11.【2015高考湖南，理6】已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）‎ A. ‎ B. C.6 D-6‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】，令，可得，故选D.‎ ‎12.【2015高考上海，理11】在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为 ‎1．（2014·安徽卷）设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图13所示，则a＝________.‎ 图13‎ ‎【答案】3　‎ ‎【解析】由图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由组合原理知故 解得 ‎2．（2014·福建卷）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“‎1”‎表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)‎ A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 ‎ B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5‎ C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) ‎ D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)‎ ‎【答案】A　 ‎ ‎3．（2014·湖北卷）若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. ‎【答案】C　‎ ‎【解析】展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C‎22a5x－3，故含的项的系数是C‎22a5＝84，解得a＝1.故选C.‎ ‎4．（2014·新课标全国卷Ⅰ） (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ ‎【答案】－20　‎ ‎【解析】(x＋y)8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.‎ ‎5．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.‎ ‎6．（2014·四川卷）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A．30 B．‎20 C．15 D．10‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.‎ ‎7．(2014·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)‎ A．45 B．‎60 C．120 D．210‎ ‎【答案】C　【解析】含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A．30 B．20‎ C．15 D．10‎ 解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C＝15，故选C。‎ 答案：C ‎2.5的展开式中x2y3的系数是(　　)‎ A．－20 B．－5‎ C．5 D．20‎ 解析：由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2·(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3‎ 的系数为－20，选A。‎ 答案：A ‎3．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. 解析：Tk＋1＝C(2x)7－kk＝C27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5，即T5＋1＝C22a5x－3＝84x－3，解得a＝1，选C。‎ 答案：C ‎4．若n∈N*且n为奇数，则6n＋C6n－1＋C6n－2＋…＋C6－1被8除所得的余数是(　　)‎ A．0 B．2‎ C．5 D．3‎ 解析：∵6n＋C6n－1＋C6n－2＋…＋C6－1＝7n－2＝(8－1)n－2＝8n－C8n－1＋…＋C8－3，∴余数为5。‎ 答案：C ‎5．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，‎ 则＋＋…＋的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－1 D．－2‎ 解析：观察所求数列和的特点，‎ 令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0，‎ 所以＋＋…＋＝－a0，‎ 再令x＝0可得a0＝1，因而＋＋…＋＝－1。‎ 答案：C ‎6．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)‎ A．45 B．60‎ C．120 D．210‎ 解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1,2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f ‎(1,2)＋f(0,3)＝120，选C。‎ 答案：C ‎7．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为__________。(用数字填写答案)‎ 解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20。‎ 答案：－20‎ ‎8．(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝__________。(用数字填写答案)‎ 解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝。‎ 答案： ‎9. 设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn。若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝__________。‎ 解析：由题图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由题意知故可得 答案：3‎ ‎10．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值。‎ 解析：由5得，‎ Tr＋1＝C5－rr＝()5－r·C·x。‎ 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0。‎ ‎∴r＝4。‎ ‎∴常数项T5＝C×＝16。‎ 又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，‎ 由题意得2n＝16，∴n＝4。‎ 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴Ca4＝54。‎ ‎∴a＝±。‎ ‎11．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10。‎ ‎(1)求a2；‎ ‎(2)求a1＋a2＋…＋a10；‎ ‎(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2。‎ 方法二：(x2－3x＋2)5的本质是5个x2－3x＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：‎ ‎①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C·24＝80；‎ ‎②5个x2－3x＋2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C·(－3)2·23＝720。‎ ‎∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800。‎ ‎(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，‎ a0＝f(0)＝25＝32，‎ a0＋a1＋a2＋…a10＝f(1)＝0，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a10＝－32。‎ ‎(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0。‎ ‎12．已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的。‎ ‎(1)求该展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项。‎ ‎ ‎ ‎(2)假设第r＋1项的系数最大，‎ 则 即 即解得≤r≤。‎ 又∵r∈N，∴r＝5。‎ ‎∴展开式中系数最大的项为：‎ T6＝C(2)5＝672x。‎ ‎ ‎ ‎ ‎