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- 2021-06-19 发布
【课时训练】函数模型及其应用
一、选择题
1．(2018 德阳一诊)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量
符合指数衰减曲线 y＝aent
，假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等．若再过 m min 甲桶中
的水只有
a
4
L，则 m 的值为( )
A．5 B．8
C．9 D．10
【答案】A
【解析】∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数 y＝f(t)＝aent满足 f(5)＝ae5n＝
1
2
a，
可得 n＝
1
5
ln
1
2
，∴f(t)＝a·
1
2
t
5
，因此，当 k min 后甲桶中的水只有
a
4
L 时，f(k)＝a·
1
2
k
5
＝
1
4
a，即
1
2
k
5
＝
1
4
，∴k＝10，则 m＝k－5＝5.
2．(2018 安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中
水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )
【答案】C
【解析】由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的
圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选 C.
3．(2018 北京西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度
(单位 mol/L，记作[H
＋
])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位 mol/L，记作[OH
－
])的乘积等
于常数 10
－14
.已知 pH 值的定义为 pH＝－lg [H
＋
]，健康人体血液的 pH 值保持在 7.35～7.45
之间，那么健康人体血液中的
[H
＋
]
[OH
－
]
可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
6
D．
1
10
【答案】C
【解析】∵[H
＋
]·[OH
－
]＝10
－14
，∴
[H
＋
]
[OH
－
]
＝[H
＋
]
2
×10
14
，∵7.35<－lg [H
＋
]<7.45，
∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<
[H
＋
]
[OH
－
]
＝1014·[H＋]2<10－0.7，10－0.9＝
1
10
0.9
>
1
10
，lg(100.7)
＝0.7>lg 3>lg 2，∴10
0.7
>3>2，10
－0.7
<
1
3
<
1
2
，∴
1
10
<
[H
＋
]
[OH
－
]
<
1
3
.故选 C.
4．(2018 四川内江模拟)某商店计划投入资金 20 万元经销甲或乙两种商品．已知经销
甲、乙商品所获得的利润分别为 P(万元)和 Q(万元)，且它们与投入资金 x(万元)的关系是：
P＝
x
4
，Q＝
a
2
x(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的
纯利润总不少于 5 万元，则 a的最小值应为( )
A． 5 B．5
C． 2 D．2
【答案】A
【解析】设投入 x 万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润 y＝P＋Q
＝
x
4
＋
a
2
· 20－x.令 y≥5，则
x
4
＋
a
2
· 20－x≥5 对 0≤x≤20 恒成立．∴a 20－x≥10－
x
2
，
∴a≥
1
2
20－x对 0≤x<20 恒成立．∵f(x)＝
1
2
20－x的最大值为 5，且 x＝20 时，
a 20－x≥10－
x
2
也成立，∴amin＝ 5.故选 A.
二、填空题
5．(2018 山东日照一模)某商店按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预
测，销售价为每件 100 元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件．若要获得最
大利润，销售价应定为每件________元．
【答案】190 元
【解析】设售价提高 x元，则依题意 y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2
＋900x＋20 000
＝－5(x－90)
2
＋60 500.
故当 x＝90 时，ymax＝60 500，此时售价为每件 190 元．
6．(2018 浙江台州一模)现有含盐 7%的食盐水 200 g，需将它制成工业生产上需要的含
盐 5%以上且在 6%以下(不含 5%和 6%)的食盐水，设需要加入 4%的食盐水 x g，则 x的取值范
围是________．
【答案】(100,400)
【解析】设 y＝
200×7%＋x·4%
200＋x
，令 5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200
＋x)6%，解得 100＜x＜400.
7．(2019 陕西宝鸡质检)某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不
超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；
超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘
坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了________km.
【答案】9
【解析】由已知可得
y＝
8＋1，08，
＝
9，08.
由 y＝22.6 解得 x＝9.
8．(2018 湖南永州模拟)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%.若
初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少
1
3
，至少应过滤________次才能达到市场要求
(已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．
【答案】8
【解析】设过滤 n次才能达到市场要求，则 2%
1－
1
3 n
≤0.1%，即
2
3 n
≤
1
20
，所以 nlg
2
3
≤
－1－lg 2，所以 n≥7.39，所以 n＝8.
9．(2018 湖北七州第一次联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的
污染物数量 P(毫克/升)与时间 t(小时)的关系为 P＝P0e
－kt
.如果在前 5 小时消除了 10%的污
染物，那么污染物减少 19%需要花费的时间为________小时．
【答案】10
【解析】由题设可得(1－0.1)P0＝P0e
－5k
，即 0.9＝e
－5k
，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0
＝P0e
－kt
，即 0.81＝e
－kt
，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故 t＝10，应填 10.
10．(2018 四川南充模拟)渔场中鱼群的最大养殖量为 m，为保证鱼群的生长空间，实际
养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖
量 x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k(k＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________．
【答案】
km
4
【解析】由题意，空闲率为 1－
x
m
，
∴y＝kx
1－
x
m ，定义域为(0，m)，
y＝kx
1－
x
m ＝－
k
m
x－
m
2 2
＋
km
4
，
∵x∈(0，m)，k＞0，∴当 x＝
m
2
时，ymax＝
km
4
.
三、解答题
11．(2018 江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形 ABC
的空地上修建一个占地面积为 S(平方米)的 AMPN 矩形健身场地．如图，点 M在 AC 上，点 N
在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30 米，|AM|＝x 米，x∈[10,20]．设
矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为
37k
S
元，再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每
平方米的造价为
12k
S
元(k 为正常数)．
(1)试用 x 表示 S，并求 S的取值范围；
(2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价 T 最低(不要求求出最低造价)?
【解】(1)在 Rt△PMC 中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝
3(30－x)，
∴矩形 AMPN 的面积 S＝|PM|·|AM|＝
3x(30－x)，x∈[10,20]，
∴200 3≤S≤225 3.
(2)矩形 AMPN 健身场地造价 T1＝37k S，
又∵△ABC 的面积为 450 3，∴草坪造价 T2＝
12k
S
(450 3－S)．∴总造价 T＝T1＋T2＝
25k
S＋
216 3
S ，
200 3≤S≤225 3.
(3)∵ S＋
216 3
S
≥12 6 3，
当且仅当 S＝
216 3
S
，即 S＝216 3时等号成立，
此时 3x(30－x)＝216 3，解得 x＝12 或 x＝18.
答：选取|AM|为 12 米或 18 米时总造价 T 最低．
12．(2018 福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生
活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的
函数关系可以近似地表示为：
y＝
1
3
x3
－80x2
＋5 040x，x∈[120，144 ，
1
2
x2
－200x＋80 000，x∈[144，500 ，
且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 200 元，若该项目不获利，政
府将给予补贴．
(1)当 x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，
则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【解】(1)当 x∈[200,300]时，该项目获利为 S，则 S＝200x－
1
2
x2
－200x＋80 000
＝
－
1
2
(x－400)
2
，
∴当 x∈[200,300]时，S<0，因此，该项目不会获利．
当 x＝300 时，S取得最大值－5 000，
∴政府每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
y
x
＝
1
3
x2
－80x＋5 040，x∈[120，144 ，
1
2
x－200＋
80 000
x
，x∈[144，500 .
当 x∈[120,144)时，
y
x
＝
1
3
x2－80x＋5 040＝
1
3
(x－120)2＋240，∴当 x＝120 时，
y
x
取得
最小值 240.
当 x∈[144,500)时，
y
x
＝
1
2
x－200＋
80 000
x
≥2
x
2
·
80 000
x
－200＝400－200＝200，
当且仅当
x
2
＝
80 000
x
，即 x＝400 时，
y
x
取得最小值 200.
∵240>200，∴当每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．