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- 2021-06-19 发布
湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考）已知抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值为__________.
2、（鄂州市2019届高三上学期期中考试）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
3、（华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考）已知抛物线C: >0)，过其焦点F的直线与C交于A ,B两点，0是坐标原点，记△AOB的面积为S,且满足，则
A. B.1 C. D.2
4、（黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线是
A.、 B、 C、 D、.
5、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次（3月）联考）已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于两点(点A在第一象限),若直线的倾斜角为,则
A. B. C. D.
6、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次（3月）联考）已知双曲线
的左、右顶点分别为,右焦点为,过点且垂直于轴的直线交双曲线于2点,为直线上的一点，当的外接圆面积达到最小值时,点恰好在M(或N)处,则双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.
7、（荆门市2019届高三元月调研）已知圆:与抛物线相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线．若切线恰好都经过抛物线的焦点，则
A． B． C． D．
8、（七市（州）教研协作体2019届高三3月联考）已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为， 则该双曲线的离心率为
A、2 B、3 C、 D、
9、（七市（州）教研协作体2019届高三3月联考）过抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 且倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A，B 两点， 以 AF，BF 为直径的圆分别与 y 轴相切于点 M ，N ， 则 DMNF 的面积为
A、 B、2 C、1 D、
10、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．12
11、（武汉市2019届高中毕业生四月调研）过点作一直线与双曲线相交于，两点，若为中点，则
A. B. C. D.
12、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），若点P（x，y）满足
|PF1|﹣|PF2|＝6，则P点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．一条射线
13、（武汉市武昌区2019届高三元月调研）已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，，则的离心率为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
14、（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
15、（宜昌市2019届高三元月调研）已知椭圆：上存在A、B两点恰好关于直线：x－y－1＝0对称，且直线AB与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
16、（鄂州市2019届高三上学期期中考试）已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点且满足，则的值为 ；
17、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）已知为抛物线上两点，为坐标原点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．
18、（武汉市2019届高中毕业生四月调研）已知过点的直线与抛物线交于，两点，为原点坐标，若，的斜率之和为1，则直线方程为 .
19、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）已知抛物线C：y2＝4x的焦点是双曲线E：x2﹣y2＝a2右焦点，则双曲线E的标准方程为 ．
20、（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值是
参考答案：
1、 2、B 3、D 4、B 5、A
6、A 7、A 8、A 9、D 10、A
11、D 12、D 13、B 14、D 15、C
16、36 17、C 18、
19、x2﹣y2＝1
20、【解析】设椭圆方程是,双曲线方程是,由定义可得,在中由余弦定理可得,即
.
二、解答题
1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考）已知分别为椭圆的左、右焦点.
（1）当时,若是椭圆上一点,且位于第一象限,,求点的坐标;
（2）当椭圆的焦距为2时,若直线与椭圆相交于两点,且,试求的面积.
2、（鄂州市2019届高三上学期期中考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被椭圆和圆截得的弦长分别为和.
（Ⅰ）求和的方程；
（Ⅱ）已知动直线与抛物线相切（切点异于原点），且与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围.
3、（华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考）已知点在M在椭圆 (a>b>0)上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)设0为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM(不含端点0，M)上，求的取值范围.
4、（黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，其焦距为
2，点E在椭圆C上，EF1⊥EF2，直线EF1的斜率为（c为半焦距）·
（1）求椭圆C的方程；
(2)设圆O：＝2的切线l2交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求证：OA⊥OB；
(3)在(2)的条件下，求｜OA｜·｜OB｜的最大值
5、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次（3月）联考）已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,椭圆上短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过作垂直于轴的直线交椭圆于两点(点在第二象限),是椭圆上位于直线两侧的动点,若,求证：直线的斜率为定值.
6、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第一次（12月）联考）已知点，
的两顶点，且点满足
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设，求动点的轨迹方程；
（3）过点的动直线与曲线交于不同两点，过点作轴垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由.
7、（荆门市2019届高三元月调研）已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线
交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．
8、（七市（州）教研协作体2019届高三3月联考）已知椭圆C：的离心率e =， 直 线 x + y - = 0 与 圆
x2+ y2 = b2 相切．
（ 1） 求椭圆的方程；
（ 2） 过点 N(4，0) 的直线l 与椭圆交于不同两点 A、 B， 线段 AB 的中垂线为 l¢ ， 求直线l¢ 在 y 轴上的截距 m 的取值范围．
9、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作动直线交椭圆于两点，为平面上一点，直线的斜率分别为，且满足，问点是否在某定直线上运动，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．
10、（武汉市2019届高中毕业生四月调研）已知椭圆经过点
，且右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线交椭圆与，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.
11、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）如图，O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|＝2
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，l）作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．
12、（武汉市武昌区2019届高三元月调研）设分别为椭圆的左、右焦点，动点在上．的平分线交轴于点，交轴于点，过的直线交于两点．
（1）若，求的值；
（2）研究发现始终为定值，写出该定值（不需要过程），并利用该结论求面积的取值范围．
13、（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）已知动圆过定点，并且内切于定圆..
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若上存在两个点，（1）中曲线上有两个点，并且三点共线，三点共线，，求四边形的面积的最小值.
14、（荆门市第一中学2019届高三8月月考）已知椭圆，其焦点为F1，F2，离心率为，若点P满足.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y＝＋m(，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足：·＝－，求实数m的取值范围．
15、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知椭圆的中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线 与相交于点,与椭圆相交于 两点.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
参考答案：
1、解：（1）设，有于是…………6分
（2），椭圆方程为（7分）联立直线得（8分）
得满足（9分） （10分）
于是 …………12分
方法二：坐标计算
将两点坐标代入椭圆方程中有
此方法可以推广到斜率任意时均成立.
2、（1）由题得，故…4分
（2）由题知存在斜率且不为0，设……5分
联立，因为与相切，故………6分
联立，
两根为，所以…………………………………………7分
，又，因此………8分
由，由韦达定理，代入计算得……9分
而点在椭圆上，即，代入得
………………………10分
令，则…………………12分
3、
4、解：（1）连接EF1,EF2,由题意知
设
即解得 ,
椭圆C的方程为 …………4分
（2）（i）当切线与坐标轴垂直时,交点坐标为，
(ii)当切线与坐标轴不垂直时，设切线为
由圆心到直线距离为
联立椭圆方程得
…………8分
（3 ）当切线与坐标轴垂直时
当切线与坐标轴不垂直时,由（2）知
当且仅当时等号成立,
综上所述，的最大值为 …………12分
5、
6、解：（1）设动点，其中 由得：
（）…… 3分（没强调“”的扣1分，后面不重复扣分）
（2）设点，由得，代入（1）中的方程得：（）
即曲线轨迹方程为（） ……………… 6分
（3）显然过点直线不垂直轴上，设,同时设,
由 消整理得:
由韦达定理得：， ……………… 7分
直线 …… ① 直线 …… ②
联立①②求解交点，消得： ………… 9分
把韦达定理中的及变形式代入上式得：
与无关）
故两直线的交点恒落在直线上. ………………12分
7、解：（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上，∴．
又，∴．………………… 2分
∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．
设曲线的方程为．∵，∴．
∴曲线的方程为． ……………………………………………………… 5分
（Ⅱ）设．
联立消去，得．
此时有．由一元二次方程根与系数的关系，得
，． ………………………………………………7分
∴．
∵原点到直线的距离，
∴． ……………………………10分
由，得．又，由基本不等式，得
．
当且仅当时，不等式取等号．
∴面积的最大值为． ……………………………………………………12分
8、
9、解析：（1）依题意，，而，
从而椭圆的方程为．…………………………………………………………………4分
（2）方法1：当直线的斜率存在时，设直线与椭圆交于，
设，将代入，得，显然．
，由已知条件，得，
即，将代入，整理得：
，而，所以，
即：，，
即．
当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．
综上，点的轨迹方程为：．……………………………………………………………12分
方法2：当直线的斜率存在时，设直线与椭圆交于，
设，将代入，得，显然．
，
直线的斜率，同理，
，
将①②代入③，由，得：，
所以，
，
又，，，
．
当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．
综上，点的轨迹方程为：．……………………………………………………………12分
10、
11、解：（1）由题意可知：，又a2＝b2+c2，
有，
故椭圆C的方程为：．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠0，x2≠0），
得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，
，且有x1+x2＝kx1x2，
，
＝＝
，
故
＝
＝．
故点T的纵坐标为3．
12、解析：（1）由题意知．
直线的方程为，即，
直线的方程为，即．
由点到和的距离相等，得． （*）
其中，
，且．
所以（*）式可化为，解得．……………………………………………………4分
（2）定值为2，即．
直线的方程为，令，并考虑，得．
所以点的坐标为，从而过的直线的方程为，即，
代入，消去，得．设，
则．
所以，
所以．
因为，其中，
所以，所以，
所以面积的取值范围为．………………………………………………………………
12分
13、【解析】(1)设动圆的半径为，则，所以由椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，所以，动圆圆心的轨迹方程是；
(2)当直线斜率不存在时,直线的斜率为0,易得,四边形的面积
当直线斜率存在时,设其方程为联立方程得
,消元得
设则
直线的方程为
,得
设则
四边形的面积
令,,上式
,由二次函数图像可知的范围是
综上可得，最小值为.
14、【解析】(1)由e＝，可设椭圆C的方程为＋＝1，
点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，等价于点P在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.5分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
则①.7分
设△AOB的重心为G(x，y)，由·＝－，可得x2＋y2＝.②
由重心公式可得G，代入②式，
整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋2m]2＝4，③
将①式代入③式并整理，得m2＝，10分
则m2＝＝1＋＝1＋.又由Δ>0可知k≠0，令t＝>0，∴t2＋4t>0，
∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分
15、（Ⅰ）由题设条件可得，椭圆的方程为，直线的方程为.
设，，，其中，
由 ，得，解得 ①
由 ，得， ，
由在上，得， ，
，化简，得 ，
解得 ，或.
（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式可知，点到的距离分别为
， ，
又 ,
四边形的面积为
，
当且仅当，即时，等号成立.
.