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- 2021-06-19 发布
2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．sin240°= ．
2．复数z=i（1﹣i）的虚部为 ．
3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为 ．
4．不等式的解集为 ．
5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为 ．
6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为 ．
7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ．
8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ．
9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为 ．
11．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．
12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是 ．
13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为 ．
14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．
16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．
（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；
（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．
17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．
（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；
（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．
18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．
（1）求sin∠ABC的大小；
（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．
19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．
（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；
（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．
20．已知函数f（x）=+x．
（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；
（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；
（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．
三、解答题（共4小题，满分40分）
21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．
22．某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：
班别
高一（1）班
高一（2）班
高一（3）班
人数
3
6
1
若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．
24．已知集合A={a1，a2，…，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，则称A1，A2，A3，…，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．
（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；
（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．
2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．sin240°= ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由诱导公式sin=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．
【解答】解：根据诱导公式sin=﹣sinα得：
sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．
故答案为：﹣
2．复数z=i（1﹣i）的虚部为 1 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．
【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，
∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．
故答案为：1．
3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为 x2=2y ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．
【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，
∴﹣=﹣，
∴p=1，
∴抛物线方程为x2=2y．
故答案为：x2=2y．
4．不等式的解集为 {x|x＜0或x＞1} ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．
【解答】解：∵，
∴即，
∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．
故答案为：{x|x＜0或x＞1}．
5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为 ．
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．
【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0
∴l1与l2间的距离d==．
故答案为：．
6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为 8 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．
【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=xz，
由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，
由得到A（4，2），
所以z的最大值为4+2×2=8；
故答案为：8．
7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ﹣2或1 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，
解得m=﹣2或1．
故答案为：﹣2或1．
8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ﹣ ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．
【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，
∴tan（α﹣β）===﹣．
故答案为：﹣．
9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 [﹣1，1] ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增
∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，
令cosx=t，t∈[﹣1，1]，
问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，
即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．
故答案为：[﹣1，1]．
10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为 27 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．
【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．
圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为： =4
弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．
△ADB面积的最大值为： =27
故答案为：27
11．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．
【考点】基本不等式．
【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，
∴a+b﹣2=1，
那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）
≥5+2=9，
当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．
联立，
解得：a=．
故答案为：．
12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是 [﹣2，0） ．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出： y=与y=kx的图象，
如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．
由图象可知k∈[﹣2，0）．
故答案为：[﹣2，0）．
13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为 y=±2x ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．
【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），
则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，
∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），
=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），
∵AF⊥BF，
∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，
整理得：c2=x2，
∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，
∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，
∵a＞0，b＞0，
∴9b2+4a2≠0，
∴b2﹣4a2=0，
故b=2a，
双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，
故答案为：y=±2x．
14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 [，+∞） ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），
∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，
∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，
在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：
∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，
即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，
整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，
∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，
解得：a≥．
故答案为：[，+∞）．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．
【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．
化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx
=2sin2x+sin2x+1
=2（cos2x）+sin2x+1
=sin（2x﹣）+2
由正弦函数的图象及性质．
可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．
解得：≤x≤，
所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．
∴=sin（）+2=sin+2=3
所以的值为：3．
16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．
（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；
（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．
【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；
（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），
故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…
若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…
所以A∩B=（2，4]； …
（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，
即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min …
因为=x+1+﹣1≥1，
当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号
所以﹣m≥1，
解得：m≤﹣1． …
17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．
（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；
（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．
（2）•=（+）•（+），即可得出结论．
【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，
斜率不存在时，x=4，满足题意；
斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0
由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，
综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；
（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，
∴圆M的半径==．
18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．
（1）求sin∠ABC的大小；
（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；
（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．
【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…
所以sin∠ABC=．…
（2）在△ABD中，由得：
AD=，BD=﹣ …
设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，
则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣） …
令H（θ=，则H′（θ）=．
当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增
∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值． …
此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间
所以θ=时，运输总成本最小．
答：θ=时，运输总成本最小． …
19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．
（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；
（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==， =﹣5为定值；
（2）由，， =3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=， =，由三角形的面积公式可知：S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．
【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），
∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，
∵．
∴c=2（x2﹣c），即x2=c …
∴k==，k'==，
∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值． …
（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，
=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）
∵点A、P在椭圆C上，则，
整理得： =8，解得： =，…
则，代入得： =， =，
∵△APQ的面积为S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，
解得：c2=，
∴c2=4，…
∴椭圆方程为：． …
20．已知函数f（x）=+x．
（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；
（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；
（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．
（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；
（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．
【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1
∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）
∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣ …
（2）若a＜0，∵（x≠0），
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；
在x∈（1，+∞）时，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，则H′（x）=（aex+2）x，
∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e
∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，
又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …
且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；
∴f（x）在x0处取得极大值 （*）
又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：
，∴不存在负整数a满足条件． …
（3）设g（x）=aex（x﹣1）+x2，则g′（x）=（aex+2）x，
因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．
又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0
再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，
当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；
所以函数f（x）在x1处取得极小值． …
当x＜0时，ex＜1，且x﹣1＜0，
所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，
函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，
故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，
再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，
当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；
当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；
所以函数f（x）在x2处取得极大值．
综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…
三、解答题（共4小题，满分40分）
21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．
【考点】特征向量的定义；矩阵特征值的定义．
【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．
【解答】解：矩阵M的特征多项式为
f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，
由矩阵M的一个特征值为4，
∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，
解得：a=2，
实数a的值2．
22．某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：
班别
高一（1）班
高一（2）班
高一（3）班
人数
3
6
1
若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．
【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．
则
ξ
0
1
2
P
∴E（ξ）=+1×+2×=．
答：数学期望为．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．
（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．
【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．
（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…
=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），
∴cos＜，＞===﹣，
∴CE与PD所成角的余弦值为．…
（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，
∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），
又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．
设为平面CDE的法向量，
则，取x=1，得=（1，0，1），…
设直线BF与平面CDE所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜，＞|==，…
令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，
当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，
即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为． …
24．已知集合A={a1，a2，…，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，则称A1，A2，A3，…，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．
（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；
（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．
【考点】并集及其运算．
【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3； 设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．
（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．
【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3； …
设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；
若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9； …
设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；
若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，
所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；
若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，
所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…
（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．
当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…
假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，
当n=k+1时，A1∪A2∪…∪Ak+1={a1，a2}
当Ak+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；
当Ak+1={a1}时，A1∪A2∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，
或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；
同理当Ak+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；
当Ak+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，
或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪Ak={a2}，
所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪Ak=∅，所以有1种，共有22k种；
则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，
所以，当n=k+1时，结论成立．…
所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…
2016年12月10日