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- 2021-06-19 发布
成都实验高级中学2015级高三上学期12月月考试题
数 学（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ A ）
A． B． C． D．
2. 复数，若，则实数的值是（ D ）
A． B． C． D．
3.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为，蓝色卡片两张，标号分别
为，从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和不小于的概率为（ B ）
A. B. C. D.
4.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ C ）
A． B．
C． D．
5.若，，，则（ D ）
A． B． C． D．
6.函数的图象大致为（ A ）
7．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2016等于( A )
A．1008 B．2016
C．504 D．0
8.若、满足约束条件则的最大值为（ D ）
A．10 B．8 C．6 D．4
9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ B ）
A．1007 B．3025 C．2017 D．3024
10.已知函数（），，的零点分别为，，，则（ C ）
A． B．
C. D．
11．经过点,且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为（ A ）
A． B．
C． D．
12.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG平行于x轴，则双曲线C的离心率为( C )
A. B. C.2 D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则在方向上的投影为 ．13.
14.将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________。 14.
15.已知中，为的中点，，，则的值为 ．15.
16.为“精致数列”.已知等差数列 的首项为1，公差不为0，若数列 为“精致数列”，则数列 的通项公式为
. 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
17．【解析】：(1)由题意得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为数列{an}的各项都为正数，所以＝，
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
18.（本小题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区的年平均浓度不得超过35微克/立方米，的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年30天的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，将这30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图．
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
18.【解析】：（Ⅰ）由题意知，则.
（Ⅱ）（微克/立方米）,因为，所以该居民区的环境质量需要改善．
19. （本小题满分12分）如图，正方形的边长为1，是平面同一侧的两点，，，，，.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的正弦值.
19.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【分析】：（Ⅰ）由题意可得,易证平面
（Ⅱ）易证得平面，于是将几何体补成一个正方体，取的中点，于是即可求得.
【解析】：（Ⅰ）由题意可得.又∵，，∴.
又∵，
∴平面.
（Ⅱ）∵，，，∴，∴.
又∵，，∴平面.
如图，将几何体补成一个正方体，取的中点，
易知，，，∴平面.
又∵，，，∴.
∴为直角三角形，.
故几何体体积 .
20.（本小题满分12分）已知平面上三点A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4).
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值.
21.【解析】 (1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.
(2)∵＝(2－k，3)，∴＝(k－2，－3)，
∴＝＋＝(k，1).若△ABC为直角三角形，
则当A是直角时，⊥，即·＝0，
∴2k＋4＝0，解得k＝－2；当B是直角时，⊥，即·＝0，
∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；
当C是直角时，⊥，即·＝0，∴16－2k＝0，
解得k＝8.综上得k的值为－2，－1，3，8.
21.（本小题满分12分）已知函数，（）．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，求的最小值．
21.【解析】（Ⅰ）由题意得，，，
令，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，得，
∴的单调递增区间为，
综上所述，当时，的单调递增区间为
当时，的单调递增区间为，
（Ⅱ），（），由题意知，是的两根，
∴，，，，
令，
当时，，在上单调递减，的最小值为，即的最小值为
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求与交点的极坐标（，）．
22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），
则曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程，曲线的极坐标方程为，联立得，又，则或，
当时，；当时，，所以交点坐标为，．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若对任意正数恒成立，求的取值范围.
23.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】：（1）存在使不等式成立，等价于，（2）不等式对任意正数恒成立，化为，解不等式得解.
【解析】：（1）
已知等价于
所以实数的取值范围
（2），（取等号）
已知可化为
所以 .
因此实数的取值范围.