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- 2021-06-19 发布
2016-2017学年黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（每题5分）
1．命题：“若p则q”的逆命题是（ ）
A．若¬p则¬q B．若¬q则¬p C．若q则p D．若p则q
2．设x∈R，则“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
4．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知命题：∀x∈R，则2x2+2x+＜0的否定是（ ）
A．∀x∈R，则2x2+2x+≥0 B．∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0
C．∃x0∈R，则2x02+2x0+＜0 D．∀x∈R，则2x2+2x+＞0
6．关于命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（ ）
A．（￢p）∨q为假 B．（￢p）∧（￢q）为真 C．（￢p）∨（￢q）为假 D．（￢p）∧q为真
7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2 B． C． D．1
8．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．I
9．已知F1，F2是双曲线=1的两个焦点，p为双曲线上一点且∠F1PF2=60°，则=（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆内一点P（1，1），则以P为中点的弦方程为（ ）
A．x+2y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x+y﹣5=0 D．x﹣2y=0
11．已知y2=16x，A（1，2），P为抛物线上的点，F为抛物线焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．3
12．已知y2=8x的焦点为F，则过F点且倾斜角为60°的直线被抛物线截得的弦长为（ ）
A．8 B． C． D．
二、填空题（每题5分）
13．双曲线的渐近线方程为 ．
14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2=45°，则椭圆的离心率e= ．
15．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为 ．
16．若f（x）=x2+2x﹣5且A（1，﹣2），则以点A为切点的切线方程为 ．
三、解答题
17．已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
18．求证：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．
19．已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆：x2+y2﹣4x+2=0的圆心，求椭圆E的方程．
20．已知双曲线x2﹣y2=4，直线l：y=k（x﹣1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：
（1）直线l与双曲线有两个公共点，
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．
21．已知抛物线y2=2px（p＞0），点M（2，y0）在抛物线上，
（1）求抛物线方程
（2）设A点坐标为，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及相应的距离|BA|．
22．已知直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．
2016-2017学年黑龙江省鹤岗市绥滨一中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分）
1．命题：“若p则q”的逆命题是（ ）
A．若¬p则¬q B．若¬q则¬p C．若q则p D．若p则q
【考点】四种命题．
【分析】根据命题与它的逆命题的定义，写出即可．
【解答】解：命题“若p则q”的逆命题是
“若q则p”．
故选：C．
2．设x∈R，则“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：由x2+x﹣2＜0得﹣2＜x＜1，
所以“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的必要不充分条件．
故选B．
3．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
【考点】四种命题．
【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．
【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，
则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．
故选D．
4．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．
【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，
∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，
其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，
则p是¬q的充分不必要条件．
故选A．
5．已知命题：∀x∈R，则2x2+2x+＜0的否定是（ ）
A．∀x∈R，则2x2+2x+≥0 B．∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0
C．∃x0∈R，则2x02+2x0+＜0 D．∀x∈R，则2x2+2x+＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定
【解答】解：原命题为“∀x∈R，则2x2+2x+＜0，
∵原命题为全称命题
∴其否定为存在性命题，且不等号须改变
∴原命题的否定为：∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0
故选：B
6．关于命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（ ）
A．（￢p）∨q为假 B．（￢p）∧（￢q）为真 C．（￢p）∨（￢q）为假 D．（￢p）∧q为真
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别判断命题p，q的证明，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：命题p：A∩∅=∅，为真命题．
命题q：A∪∅=A，为真命题．
则（￢p）∨q为真命题，故A错误，
（￢p）∧（￢q）为假，故B错误，
（￢p）∨（￢q）为假，故C正确，
（￢p）∧q为假，故D错误，
故选：C．
7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．
【解答】解：由题意，
e===2，
解得，a=1．
故选D．
8．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．I
【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．
【分析】设的夹角为2θ，根据焦点三角形面积公式S=b2tanθ，可求2θ，再利用数量积公式即可；
【解答】解：设的夹角为2θ
因为S=b2tanθ=1，其中b=1所以tanθ=1，θ=45°
∴∠F1PF2=90°
所以=0
故选A
9．已知F1，F2是双曲线=1的两个焦点，p为双曲线上一点且∠F1PF2=60°，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程求得a，c的值，由余弦定理结合双曲线的定义求得|PF1||PF2|的值，则三角形面积可求．
【解答】解：由双曲线=1，得a=3，2a=6，
b2=16，c2=a2+b2=25，c=5．
不妨设P在双曲线右支上，则|PF1|﹣|PF2|=6，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：，
则，即100=36+|PF1||PF2|，
得|PF1||PF2|=64．
∴=．
故选：A．
10．已知椭圆内一点P（1，1），则以P为中点的弦方程为（ ）
A．x+2y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x+y﹣5=0 D．x﹣2y=0
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设以点P（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果
【解答】解：设以点P（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，
分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，
再相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
k=﹣
∴点P（1，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
整理，得：x+4y﹣5=0．
故选：B
11．已知y2=16x，A（1，2），P为抛物线上的点，F为抛物线焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PD|+|PA|的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时|PD|+|PA|最小，答案可得．
【解答】解：设点A在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
∴要求|PF|+|PA|的最小值，即求|PD|+|PA|的最小值，
只有当D，P，A三点共线时|PD|+|PA|最小，且最小值为1﹣（﹣4）=5 （准线方程为x=﹣4）
故选C．
12．已知y2=8x的焦点为F，则过F点且倾斜角为60°的直线被抛物线截得的弦长为（ ）
A．8 B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan60°=，从而得到直线的方程．直线方程与抛物线方程联解消去y得3x2﹣20x+12=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，2p=8， =2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．
∵直线的倾斜角为60°，∴直线斜率为k=tan60°=
可得直线方程为：y=（x﹣2），
设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），
联解，消去y得3x2﹣20x+12=0，
∴x1+x2=，
根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，
∴|AB|=x1+x2+4=，即直线被抛物线截得的弦长为．
故选：D．
二、填空题（每题5分）
13．双曲线的渐近线方程为 y=±x ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦点在y轴上，可以求出a、b的值，进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，
则其焦点在y轴上，且a==3，b==2，
故其渐近线方程y=±x；
故答案为：y=±x．
14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2=45°，则椭圆的离心率e= ﹣1 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，等腰Rt△F1PF2中，PF2=F1F2=2c，且PF1=2c，结合椭圆的定义得到PF1+PF2=2a=（1+）2c，最后由椭圆的离心率公式，可求得椭圆的离心率e．
【解答】解：∵Rt△F1PF2中，PF2⊥F2F1且∠F1PF2=45°，
∴PF2=F1F2=2c，PF1=F1F2=2c，
∵点P在椭圆上，
∴PF1+PF2=2a=（1+）2c
因此，椭圆的离心率e===﹣1
故答案为：﹣1
15．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为 [﹣1，6] ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别化简命题p，q，利用充分条件的意义即可得出．
【解答】解：p：﹣4＜x﹣a＜4，化为：a﹣4＜x＜4+a．
q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，解得2＜x＜3．
∵q是p的充分条件，∴，解得﹣1≤a≤6．
故答案为：[﹣1，6]．
16．若f（x）=x2+2x﹣5且A（1，﹣2），则以点A为切点的切线方程为 4x﹣y﹣6=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而求出切线方程．
【解答】解：由题意，f′（x）=2x+2
∴当x=1时，f′（1）=4
∴以点A（1，﹣2）为切点的f（x）切线方程是4x﹣y﹣6=0．
故答案为：4x﹣y﹣6=0．
三、解答题
17．已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】先根据题p是真命题，求出x的取值范围，然后根据命题q是假命题，求出x的取值范围，最后求它们的交集，即可．
【解答】解：因为命题p是真命题，则x2﹣2x﹣2≥1，
∴x≥3或x≤﹣1，
命题q是假命题，则x≤0或x≥4．
∴x≥4或x≤﹣1．
18．求证：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．
【考点】反证法与放缩法．
【分析】原命题不好证明，利用逆否命题的等价性进行证明即可
【解答】证明：若a+b=1，则a2+2ab+b2+a+b﹣2=（a+b）2+（a+b）﹣2=1+1﹣2=0成立，
∴根据逆否命题的等价性可知：
若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．
19．已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆：x2+y2﹣4x+2=0的圆心，求椭圆E的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率求出a即可．
【解答】解：由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0），
设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，
e=，∴a=4，
∴b2=a2﹣c2=12，∴椭圆E的方程为：．
20．已知双曲线x2﹣y2=4，直线l：y=k（x﹣1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：
（1）直线l与双曲线有两个公共点，
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将直线方程代入双曲线方程，化为关于x的方程，利用方程根的判别式，即可求得k的取值范围．
（1）由1﹣k2≠0，且△＞0，解得即可；（2）1﹣k2=0或1﹣k2≠0，且△=0，解得即可．
【解答】解：联立直线y=k（x﹣1）和双曲线：x2﹣y2=4，消去y得，（1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣4=0，
判别式△=4k4+4（1﹣k2）（k2+4）=4（4﹣3k2）．
（1）1﹣k2≠0，且△＞0，解得﹣＜k＜且k≠±1，
则k的取值范围是：（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）；
（2）1﹣k2=0或1﹣k2≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±，则k的取值范围是k=±1，或k=±．
21．已知抛物线y2=2px（p＞0），点M（2，y0）在抛物线上，
（1）求抛物线方程
（2）设A点坐标为，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及相应的距离|BA|．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，由点M（2，y0）在抛物线上，，可直接求出p值，代入y2=2px即可．
（2）利用两点间距离公式，可用B点坐标表示|BA|，再根据B在抛物线上，求出|BA|最值．
【解答】解：（1）所以p=1
故抛物线方程为y2=2x
（2）设y2=2x上任一点M（x，y）
所以当x=0时，
所以，此时B（0，0）
22．已知直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用点差法，结合M为线段AB的中点，|AB|=2，直线OM的斜率为，求出几何量，即可求椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
则A（x1，y1），B（x2，y2）代入方程并相减得： =﹣•．
∴kAB=﹣•=﹣．③
又kOM==，④
由③④得a2=4b2．
由直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）得：x2﹣4x+8﹣2b2=0，
∴x1+x2=4，x1•x2=8﹣2b2．
∴|AB|=|x1﹣x2|==2．
解得：b2=4．
故所求椭圆方程为：．