2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科） 23页

‎2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，2} B．{2，4，8} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}‎ ‎2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（　　）‎ A．1 B．16 C．8 D．4‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎8．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（　　）‎ A．（0，0） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（﹣1，1）‎ ‎9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（　　）‎ A．x= B．x= C．x= D．x=‎ ‎11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（　　）‎ A．（e，+∞） B．（0，e） C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=　 　．‎ ‎14．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1=2，，则数列{an}的通项公式an=　 　．‎ ‎15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为　 　．‎ ‎16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 求数列{Sn}的前n项和Tn．‎ ‎18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：‎ API ‎[0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，250]‎ ‎（250，300]‎ ‎＞300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的 经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的 经济损失为2000元；‎ ‎（1）试写出是S（ω）的表达式：‎ ‎（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎1.32‎ ‎2.07‎ ‎2.70‎ ‎3.84‎ ‎8.02‎ ‎6.63‎ ‎7.87‎ ‎10.82‎ K2=‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．‎ ‎（1）求证：PF⊥平面ABED；‎ ‎（2）求点A到平面PBE的距离．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．‎ ‎（Ⅰ） 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ） 求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．‎ ‎（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．‎ ‎　‎ ‎2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，2} B．{2，4，8} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}‎ ‎【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，‎ ‎∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，‎ ‎∴A∩B={1，2，4}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），‎ 得=，‎ 则|z|=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【解答】解：∵sinα﹣cosα=，‎ ‎∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，‎ ‎∴sin2α=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，‎ 则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，‎ 可得：，‎ ‎4=b2（），‎ ‎∴，‎ ‎=3，‎ ‎∴e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，‎ ‎∴AB=BC，‎ 由余弦定理得：AC===BC，‎ 故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，‎ ‎∴sinA=，‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（　　）‎ A．1 B．16 C．8 D．4‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 设m=2x+y，则得y=﹣2x+m，‎ 平移直线y=﹣2x+m，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线的截距最小，‎ 此时m最小，z也最小，‎ 由，解得，得A（1，1）‎ 此时m=2×1+1=3，z=22x+y=z=23=8，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得：‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，‎ 是，输出i=9，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（　　）‎ A．（0，0） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（﹣1，1）‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，‎ ‎∴f′（x）=3x2+2ax，‎ ‎∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，‎ ‎∴3x02+2ax0=﹣1，‎ ‎∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．‎ 当x0=1时，f（x0）=﹣1，‎ 当x0=﹣1时，f（x0）=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP 因为E为PC中点，所以OE∥PA，‎ 所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．‎ 因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，‎ 所以PO⊥平面ABCD，‎ 所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，‎ 因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．‎ 所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（　　）‎ A．x= B．x= C．x= D．x=‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，可得 ‎，‎ 可得λ=﹣1，所以．‎ 把f（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin（x﹣）的图象，‎ 再向右平移，得到函数g（x）=sin[（x﹣）﹣]=sin（x﹣）的图象，‎ 即g（x）=sin（﹣），‎ 令 =kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为 x=2kπ+，k∈Z．‎ 当k=0时，对称轴的方程为，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，‎ ‎∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，‎ 故函数为偶函数，‎ 当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B； ‎ 当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，‎ ‎∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，‎ 故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（　　）‎ A．（e，+∞） B．（0，e） C． D．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：‎ f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），‎ 则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ 且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），‎ 则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），‎ 则不等式，即为f（lnx）＜f（1）‎ 即为f（|lnx|）＜f（1），‎ 则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=　　．‎ ‎【解答】解：∵；‎ ‎∴；‎ 即x+2（x+1）=0；‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1=2，，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1=2，，‎ ‎∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，‎ 解得q2=2，q＞0，解得q=．‎ 则数列{an}的通项公式an==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为　　．‎ ‎【解答】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部 满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点位于的区域是 以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其内部 ‎∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为 P1===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是　（3，+∞）　．‎ ‎【解答】解：当m＞0时，函数的图象如下：‎ ‎∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，‎ ‎∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，‎ 必须4m﹣m2＜m（m＞0），‎ 即m2＞3m（m＞0），‎ 解得m＞3，‎ ‎∴m的取值范围是（3，+∞），‎ 故答案为：（3，+∞）．‎ ‎　‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 求数列{Sn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2①．‎ 则：Sn+1=2an+1﹣2②，‎ ‎②﹣①得：an+1=2an，‎ 即：（常数），‎ 当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，‎ 解得：a1=2，‎ 所以数列的通项公式为：，‎ ‎（Ⅱ）由于：，‎ 则：，‎ ‎=，‎ ‎=2n+1﹣2．‎ ‎﹣2﹣2﹣…﹣2，‎ ‎=2n+2﹣4﹣2n．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：‎ API ‎[0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，250]‎ ‎（250，300]‎ ‎＞300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的 经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的 经济损失为2000元；‎ ‎（1）试写出是S（ω）的表达式：‎ ‎（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎1.32‎ ‎2.07‎ ‎2.70‎ ‎3.84‎ ‎8.02‎ ‎6.63‎ ‎7.87‎ ‎10.82‎ K2=‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；‎ ‎（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A；‎ 由200＜S≤600，得100＜ω≤175，频数为33，‎ ‎∴P（A）=；‎ ‎（2）根据以上数据得到如表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ K2的观测值K2=≈4.575＞3.841‎ 所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．‎ ‎（1）求证：PF⊥平面ABED；‎ ‎（2）求点A到平面PBE的距离．‎ ‎【解答】解：（1）连结EF，‎ 由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，‎ 在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，‎ 所以PF⊥BF…（2分）‎ 在图1中，利用勾股定理，得EF==，‎ 在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，‎ ‎∴PF⊥EF…（4分）‎ 又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，‎ ‎∴PF⊥平面ABED．…（6分）‎ ‎（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，‎ ‎∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（8分）‎ 设点A到平面PBE的距离为h，‎ 由等体积法得VA﹣PBE=VP﹣ABE，…（10分）‎ 即 ‎∴h=，‎ 即点A到平面PBE的距离为．…（14分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），‎ 所以，．…（2分）‎ 因为a2=b2+c2，‎ 解得a2=8，b2=2，…（3分）‎ 所以椭圆C的方程为．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．‎ 设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…（5分）‎ 所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．‎ 设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），‎ 由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①‎ 因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…（6分）‎ 所以．…（7分）‎ 同理．…（8分）‎ 所以．…（9分）‎ 又．…（10分）‎ 所以直线PQ的斜率为．…（11分）‎ 所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）‎ 解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则直线PA的斜率，直线QA的斜率．‎ 因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．‎ 所以kPA=﹣kQA，即，①…（5分）‎ 因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，‎ 所以，②．③‎ 由②得，得，④…（6分）‎ 同理由③得，⑤…（7分）‎ 由①④⑤得，‎ 化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…（8分）‎ 由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…（9分）‎ ‎⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…（10分）‎ ‎②﹣③得，得．…（11分）‎ 所以直线PQ的斜率为为定值．…（12分）‎ 解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则y1=kx1+b，y2=kx2+b，‎ 直线PA的斜率，直线QA的斜率．…（5分）‎ 因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．‎ 所以kPA=﹣kQA，即=，…（6分）‎ 化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．‎ 把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*） …（7分）‎ 由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）‎ 则，…（8分）‎ 代入（*）得，…（9分）‎ 整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，‎ 所以或b=1﹣2k．…（10分）‎ 若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…（11分）‎ 若时，合题意．‎ 所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣= …（2分）‎ 当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，‎ 所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分）‎ 当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，‎ 所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，‎ 要证明f（x）+ex＞x2+x+2，‎ 只需证明ex﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=ex﹣lnx﹣2，‎ 则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，‎ 令g′（x）=ex﹣=0，得ex=，‎ 容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足ex0=，‎ 当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表 x ‎（0，x0）‎ x0‎ ‎（x0，∞）‎ g′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g（x）‎ 递减 递增 g（x）min=g（x0）=ex0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，‎ 因为x0＞0，且x0≠1，所以g（x）min＞2﹣2=0，‎ 因此不等式得证．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[‎ 选修4-4参数方程与极坐标系]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．‎ ‎（Ⅰ） 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ） 求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），‎ 转化为：x+y﹣4=0．‎ 曲线C：ρ=2．‎ 转化为：x2+y2=2x+2y，‎ 即：x2+y2﹣2x﹣2y=0．‎ ‎（Ⅱ）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2y=0，‎ 转化为标准式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，‎ 则：圆心（1，1）到直线的距离d=，‎ 所以：曲线上的点到直线的最大距离为：．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．‎ ‎（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．‎ ‎【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．‎ ‎①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，‎ 解得a＞﹣，所以﹣＜a≤0； ‎ ‎②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，‎ 解得a＞﹣2，所以0＜a＜； ‎ ‎③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，‎ 解得a＜，所以≤a＜； ‎ 综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．‎ ‎（2）因为a≥1，x∈R，‎ 所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．‎ ‎　‎