2018-2019学年内蒙古包头市第四中学高二上学期期中模拟测试（二）数学试题 解析版 16页

绝密★启用前 内蒙古包头市第四中学2018-2019学年高二上学期期中模拟测试（二）数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．如果，那么下列不等式中正确的是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．‎ ‎【详解】‎ A、如果a＜0，b＞0，那么0，＞0，∴，故A正确； B、取a=-2，b=1，可得，故B错误； C、取a=-2，b=1，可得a2＞b2，故C错误； D、取 ‎ 可得|a|＜|b|，故D错误； 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，属基础题．‎ ‎2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, ，，，则（ ）‎ A．或 B．‎ C． D．以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得 考点：正弦定理解三角形 ‎3．在中，角所对的边分别是.若，则的形状是 （ ）‎ A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理由a•cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，∵a•cosA=bcosB， ∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB， 即sin2A=sin2B， ∴2A=2B或2A=π-2B， ∴A=B或A+B= ， ∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．‎ ‎4．不等式的解集是，则等于 （ ）‎ A． 14 B． 14 C． 10 D． 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据不等式的解集得到方程的解为或，进而求出a与b的数值，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集， 所以方程ax2+bx+2=0的解为或， 所以a-2b+8=0且a+3b+18=0， 所以a=-12，b=-2， 所以值是-14． 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．‎ ‎5．函数在上满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论a=0和a≠0时，解不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 若a=0，则f（x）=ax2+ax-1=-1，满足f（x）＜0成立． 若a≠0时，要使f（x）＜0成立，即f（x）=ax2+ax-1＜0， 则须满足 ，解得-4＜a＜0， 综上-4＜a≤0， 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用判别式是解决二次函数性质的基本方法，注意要对a进行讨论．‎ ‎6．已知等比数列满足（ ）‎ A． 64 B． 81 C． 128 D． 243‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 略 ‎7．设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】很明显数列的公比，‎ 设等比数列的前n项和为，由题意可得：‎ ‎，解得： ，‎ 据此有： .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.‎ ‎8．下列函数中，最小值为4的是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据基本不等式求最值时的前提条件“一正，二定，三相等”，对各选项作出判断．‎ ‎【详解】‎ 运用基本不等式对各选项考察如下： 对于B选项： ‎ 当且仅当 时，取得最小值4，故符合题意； ‎ 对于D选项：，只有当x∈（1，+∞）时，，才为正数，才能运用基本不等式得，l≥2，故不合题意； 对于A选项：，理由同上，只有x＞0时，f（x）min=4，故不合题意； 对于D选项：不合题意， ，无法取“=”，故不合题意； 故选：B ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用基本不等式求最值，涉及应用的前提条件“一正，二定，三相等”，缺一不可，属于中档题．‎ ‎9．已知为等差数列,若 ,则的值为（ ）‎ A． - B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为d，利用{an}为等差数列，a1+a5+a9=8π，可得3a1+12d=8π，从而可求a2+a8，进而可求cos（a2+a8）的值．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为d， ∵{an}为等差数列，a1+a5+a9=8π， ∴3a1+12d=8π， ， ∴cos（a2+a8）=cos=cos=- ． 故选A.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项，考查特殊角的三角函数值，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎10．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于( )‎ A． 9 B． 8 C． 7 D． 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，‎ a1=−11,a4+a6=−6，可得−11+3d−11+5d=−6，解得d=2，‎ 则Sn=na1+n(n−1)d=n2−12n=(n−6)2−36，当n=6时,Sn取最小值−36.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11．若关于的方程的两根为正实数，则实数的取值范围是 ( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程有两个正实根，则要满足判别式△≥0，两根之和大于0，两根之积大于0，这样会得到关于m的三个不等式，解不等式即可得到m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 若关于的方程x2-（m-1）x+2-m=0的两根为正实数，‎ 则： 解得 ． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程的根与判别式及系数的关系，要正确求解不等式．‎ ‎12．在中，角所对的边分别是.若的面积为，，，则的长为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意和三角形的面积公式求出b的值，为等边三角形，则c=2..‎ ‎【详解】‎ ‎∵C=60°，△ABC的面积为,，即a=2, ∴ ，得b=2，即a= b=2，C=60°为等边三角形，则c=2..‎ 即 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的面积公式，属于基础题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．不等式的解集是：_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 则不等式的的解集等价于 解之即可.‎ ‎【详解】‎ 由不等式的的解集等价于解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法，属基础题.‎ ‎14．在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理，算出 ，从而得到．再利用正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎：∵△ABC中，b2+c2=a2+bc， ∴a2=b2+c2-bc，可得， 结合A为三角形内角，可得，又bc=8 因此，△ABC的面积 .‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出三角形的边的关系式，求三角形的面积．着重考查了余弦定理、三角形面积公式等知识，属于中档题．‎ ‎15．已知满足约束条件，则的取值范围是：_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再明确目标函数几何意义，目标函数表示动点（x，y）与定点P（-1，-1）连线斜率，过P做直线与可行域相交可计算出直线斜率，从而得出所求目标函数范围 ‎【详解】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图： A（5，0），C（0，2）， 的几何意义是区域内的点与定点D（-1，-1）的斜率，由图象知AD的斜率最小，为 ， ‎ CD的斜率最大， ‎ 则 的取值范围， 故答案为： .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率的几何意义，借助数形结合求出斜率的取值范围是解决本题的关键．‎ ‎16．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式及可求得公差d，再用求和公式可得答案．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为d， ∵， ∴a12-a10=4， ∴2d=4，得d=2， ∴ ‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，其中求出公差d的值，是解题的关键．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）1；（2）9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由均值不等式易得的最大值为1．（2）利用将所求化为 再运用均值不等式求最值。‎ 试题解析：（1）‎ 考点：均值不等式求最值。‎ ‎18．某公司利用A、B两种原料生产甲、乙两种产品，每生产1吨产品所需要的原料及利润如下表所示：‎ A种原料（单位：吨）‎ B种原料（单位：吨）‎ 利润（单位：万元）‎ 甲种产品 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 乙种产品 ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ 公司在生产这两种产品的计划中，要求每种产品每天消耗A、B原料都不超过12吨。求每天生产甲、乙两种产品各多少吨，使公司获得总利润最大？最大利润是多少? ‎ ‎【答案】公司每天生产甲、乙两种产品都是吨时，公司可获得最大利润，最大利润为万元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：设生产吨甲种产品，吨乙种产品，总利润为Z（万元），‎ 则约束条件为， 4分 目标函数为， 5分 可行域为下图中的阴影部分：‎ ‎9分 化目标函数为斜截式方程： ‎ 当目标函数直线经过图中的点M时，有最大值， 10分 联立方程组，‎ 解得， 所以， 12分 将代入目标函数得（万元）．‎ 答：公司每天生产甲、乙两种产品都是吨时，公司可获得最大利润，最大利润为万元．‎ ‎ 14分 考点：线性规划的运用 点评：主要是考查了线性规划的最优解的运用，属于中档题。‎ ‎19．在等差数列中，为其前项和，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到答案 ‎⑵由的通项公式得到的通项公式，然后根据裂项相消法求前项和 ‎【详解】‎ ‎（1）由已知条件得解得所以通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴‎ 数列的前项和 ‎ =‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式。‎ ‎20．在锐角中，角的对边分别为，且 ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，求出的值，由a为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；‎ ‎（2）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将的值代入求出的值，再利用面积公式求出的面积.‎ 详解：（1）由正弦定理以及得 因为为锐角，所以. ‎ 由余弦定理，得 由三角形面积公式得.‎ 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正确使用公式是求解该题的关键.‎ ‎21．已知是等差数列，满足，数列满足，且为等比数列．‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）＋－1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设等差数列的公差为，由题意得.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n．‎ 设等比数列的公比为，‎ 由题意得，解得q＝2. ‎ 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.‎ 从而． ‎ ‎(2)由(1)知．‎ 数列的前项和为，数列的前项和为，‎ 所以，数列的前项和为＋－1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．‎ ‎22．等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．‎ ‎（1）求数列，的通项公式； ‎ ‎（2）记,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出an=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{bn}是等比数列，，，由此求出． （2）由（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn ‎【详解】‎ ‎（1）∵是方程的两根，且数列的公差，‎ ‎∴，公差 ‎∴‎ 又当时，有1－‎ 当 ‎∴数列是等比数列，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）知 ‎ ‎∴Tn＝ ，① ，② ①-②，得 即 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．‎