数学（文）卷·2018届重庆市大学城一中高二上学期期中考试（2016-11） 9页

2016-2017 学年重庆市大学城第一中学校 高二（上）期中数学（文科）试卷 本试题卷共 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。用统一提供 的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无 效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4．考生在立体几何答题时，在相关试题图形上作出相应的辅助线 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. ( ) A. B. C. D. 2．已知直线l 的方程为 1y x  ，则该直线l 的倾斜角为（ ）． A．30 B． 45 C． 60 D．135 3.已知点 )1,(xA 和 )3,2(B ,且 52AB ,则实数 x 的值是（ ）． A．-3或4 B．–6或2 C．3或-4 D．6或-2 主视图 左视图 俯视图 x y O x y O x y O x y O 4.长方体的三个面的面积分别是 632 、、 ，则长方体的体积是（ ）． A． 23 B． 32 C． 6 D．6 5.棱长为 a 的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ） A． 2a B．2 2a C．3 2a D． a 24 6.若直线 a 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 a 垂直的直线（ ） A．只有一条 B．无数条 C．是平面 内的所有直线 D．不存在 7.已知直线l 、 m 、 n 与平面 、  ，给出下列四个命题： ①若 m∥l ，n∥l ，则 m∥n ②若 m⊥ ，m∥， 则 ⊥ ③若 m∥ ，n∥ ，则 m∥n ④若 m⊥ ， ⊥ ，则 m∥ 或 m 错误! 其中假命题．．．是（ ）． A． ① B．② C． ③ D．④ 8.在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a  正确的是（ ）． A B C D 9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个圆，那 么这个几何体的侧面积．．．为（ ）． A． 4  B． 5 4  [] C． D． 3 2  10.直线 03y2x  与圆 9)3y()2x( 22  交于 E、F 两点，则  EOF（O 是原点）的面积为（ ）． A． 52 B． 4 3 C． 2 3 D． 5 56 11.已知点 )3,2( A 、 )2,3( B 直线l 过点 )1,1(P ，且与线段 AB 相交，则直线l 的斜率的取 值 k 范围是 （ ） 主视图 左视图 俯视图 A． 3 4k  或 4k   B． 3 4k  或 1 4k   C． 4 34  k D． 44 3  k 12.若直线 k24kxy  与曲线 2x4y  有两个交点，则 k 的取值范围（ ）． A． ,1 B． )4 3,1[  C． ]1,4 3( D． ]1,(  二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13.如果对任何实数 k，直线(3＋k)x＋(1-2k)y＋1＋5k=0 都过一个定点 A，那么点 A 的坐标 是 ． 14.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=a，那么这 个球面的面积是 ． 15．已知 2 2 2 2 1 2: 1 : 3 4 9O x y O x y   圆 与圆 （ － ） （ ＋ ） ， 则 1 2O O圆 与圆 的位置关系为 ． 16．如图①，一个圆锥形容器的高为 a ，内装一定量的水.如 果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为 2 a （如图②），则 图①中的水面高度为 ． 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 如图，在平行四边形 OABC 中，点 C（1，3）． （1）求 OC 所在直线的斜率； （2）过点 C 做 CD⊥AB 于点 D，求 CD 所在直线的方程． ① ② a D B C A O 1 x y 18．（本小题满分 12 分） 已知圆 C： 2 21 9x y   内有一点 P（2，2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. （1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （2）当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程； （3）当直线 l 的倾斜角为 45º时，求弦 AB 的长. 19．（本小题满分 12 分） 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 为棱 AD、AB 的中点． （1）求证：EF∥平面 CB1D1； （2）求证：平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1． 20. （本小题满分 12 分） 已知圆 C 同时满足下列三个条件： ①与 y 轴相切; ②在直线 y=x 上截得弦长为 72 ; ③圆心在直线 x－3y=0 上. 求圆 C 的方程. A B CD A 1 B1 C1D1 E F 21. （本小题满分 12 分） 如图，矩形 ABCD 中，AD⊥平面 ABE，AE=EB=BC=2，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE． （Ⅰ）求证：AE⊥平面 BCE； （Ⅱ）求证；AE∥平面 BFD； （Ⅲ）求三棱锥 C﹣BGF 的体积． 22．（本小题满分 12 分） 已知圆 O： 2 2 1x y  和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 ( , )P a b 向圆 O 引切线 PQ，切点为 Q， 且满足 PQ PA ． (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系； (2) 求线段 PQ 长的最小值； (3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点，试求半径取最 小值时圆 P 的方程． 2 2 0 P Q x y A 2016-2017 学年重庆市大学城第一中学校 高二（上）期中数学（文科）试卷参考答案[学&科&] 一.选择题 ABDCA BCCCA AB 二.填空题 13. )2,1( 14. 2a3 15. 相离 16. 3 7(1 )2 a 三.解答题 17. 解: (1) 点 O（0，0），点 C（1，3）， OC 所在直线的斜率为 3 0 31 0OCk   . （2）在 OABC 中， //AB OC ,  CD⊥AB， CD⊥OC.  CD 所在直线的斜率为 1 3CDk   . CD 所在直线方程为 13 ( 1)3y x    ， 3 10 0x y  即 . 18. 解：（1）已知圆 C： 2 21 9x y   的圆心为 C（1，0），因直线过点 P、C，所以直线 l 的斜率为 2， 直线 l 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-20. （2） 当弦 AB 被点 P 平分时，l⊥PC, 直线 l 的方程为 12 ( 2)2y x    , 即 x+2y-6=0 （3）当直线 l 的倾斜角为 45º时，斜率为 1，直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0[] 圆心 C 到直线 l 的距离为 1 2 ，圆的半径为 3，弦 AB 的长为 34 19. （1）证明:连结 BD. 在长方体 1AC 中，对角线 1 1//BD B D . 又 E、F 为棱 AD、AB 的中点， //EF BD . 1 1//EF B D . 又 B1D1 错误!平面 1 1CB D ， EF  平面 1 1CB D ， EF∥平面 CB1D1. （2） 在长方体 1AC 中，AA1⊥平面 A1B1C1D1，而 B1D1 错误!平面 A1B1C1D1，  AA1⊥B1D1. 又在正方形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1，  B1D1⊥平面 CAA1C1. 又 B1D1 错误!平面 CB1D1，平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1． 20. 解：设所求的圆 C 与 y 轴相切，又与直线交于 AB， ∵圆心 C 在直线 03  yx 上，∴圆心 C（3a，a），又圆与 y 轴相切，∴R=3|a|. 又圆心 C 到直线 y－x=0 的距离 7||,72||.||2 2 |3|||  BDABaaaCD  在 Rt△CBD 中， 33,1,1.729,)7(|| 222222  aaaaaCDR ∴圆心的坐标 C 分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为 9)1()3( 22  yx 或 9)1()3( 22  yx . 21. 解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面 ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面 ABE，则 AE⊥BC．又∵BF⊥平面 ACE，则 AE⊥BF ∴AE⊥平面 BCE． （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是 AC 中点， ∵BF⊥平面 ACE，则 CE⊥BF，而 BC=BE，∴F 是 EC 中点． 在△AEC 中，FG∥AE，∴AE∥平面 BFD． （Ⅲ）解：∵AE∥平面 BFD，∴AE∥FG，而 AE⊥平面 BCE， ∴FG⊥平面 BCE，∴FG⊥平面 BCF， ∵G 是 AC 中点，∴F 是 CE 中点，且 ， ∵BF⊥平面 ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE 中， ． ∴ ，∴ 22. 解 ：（ 1 ） 连 ,OP Q 为 切 点 ， PQ OQ ， 由 勾 股 定 理 有 2 2 2PQ OP OQ  . 又由已知 PQ PA ，故 2 2PQ PA . 即： 2 2 2 2 2( ) 1 ( 2) ( 1)a b a b      . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为： 2 3 0a b   . （2）由 2 3 0a b   ，得 2 3b a   . 2 2 2 21 ( 2 3) 1PQ a b a a        25 12 8a a   = 26 45( )5 5a   故当 6 5a  时， 2 2 O P Q x y A min 2 5.5PQ  即线段 PQ 长的最小值为 2 5.5 解法 2：由(1)知，点 P 在直线 l：2x + y－3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 | 2 2 + 1 2 = 2 5 5 . （3）设圆 P 的半径为 R ， 圆 P 与圆 O 有公共点，圆 O 的半径为 1， 1 1.R OP R     即 1R OP  且 1R OP  . 而 2 2 2 2 26 9( 2 3) 5( )5 5OP a b a a a         ， 故当 6 5a  时， min 3 5.5OP  此时, 32 3 5b a    ， min 3 5 15R   . 得半径取最小值时圆 P 的方程为 2 2 26 3 3( ) ( ) ( 5 1)5 5 5x y     ． 解法 2： 圆 P 与圆 O 有公共点，圆 P 半径最小时为与圆 O 外切（取小者）的情形，而这些 半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1，圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交 点 P0. r = 3 2 2 + 1 2 －1 = 3 5 5 －1. 又 l’：x－2y = 0, 解方程组 2 0, 2 3 0 x y x y       ，得 6 ,5 3 5 x y     .即 P0( 6 5 ,3 5 ). ∴ 所求圆方程为 2 2 26 3 3( ) ( ) ( 5 1)5 5 5x y     . 2 2 O P Q x y A P0 l 附件 1：律师事务所反盗版维权声明 附件 2：独家资源交换签约学校名录（放大查看） 学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060