2018-2019学年上海市嘉定二中等四校高二上学期期中联考数学试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年上海市嘉定二中等四校高二上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．‎ 解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，‎ 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，‎ 故前者是后者的充分条件，‎ ‎∵当两条直线平行时，得到，‎ 解得a=﹣2，a=1，‎ ‎∴后者不能推出前者，‎ ‎∴前者是后者的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎2．已知，则与的夹角为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对等式进行展开运算，求出与夹角的余弦值，从而得到夹角的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴与的夹角为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的夹角的求法、向量数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎3．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是　　‎ A．系数行列式 B．比例式 C．向量不平行 D．直线，不平行 ‎【答案】D ‎【解析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到为充要条件，直线分共面和异面两种情况．‎ ‎【详解】‎ 解：当两直线共面时，直线，不平行，二元一次方程组存在唯一解 当两直线异面，直线，不平行，二元一次方程组无解，‎ 故直线，不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．‎ ‎4．如图，由四个边上为1的等边三角形平成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为，则，的值组成的集合为（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下，的值，从而求得答案．‎ ‎【详解】‎ 对向量分成以下几种类型：‎ 边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形，与其它小三角形边上的向量相等；大三角形边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：‎ ‎,,,,‎ ‎,,,‎ ‎,,,,‎ ‎∴，的值组成的集合为.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等边三角形中线的特点、相等向量、相反向量等概念、向量数量积的运算，考查分类讨论思想和运算求解能力．‎ 二、填空题 ‎5．方程组的增广矩阵为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据增广矩阵的定义即可求出．‎ ‎【详解】‎ 方程组的增广矩阵为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题.‎ ‎6．直线的倾斜角为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线的斜率为，得到，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知直线的斜率为，‎ 设直线的倾斜角为，则，解得，‎ 即换线的倾斜角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎7．过点且与直线垂直的直线的方程____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设过点且与直线垂直的直线的方程为，把代入能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 设过点且与直线垂直的直线的方程为，‎ 把代入，得：，解得，‎ ‎∴过点且与直线垂直的直线的方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与直线垂直的性质，考查运算求解能力，求解时注意互相垂直直线的设法．‎ ‎8．已知，设，则实数____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用向量的减法和数乘运算，得到，从而得到的值．‎ ‎【详解】‎ 根据条件，，‎ ‎∴．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 考查向量减法及数乘运算，考查基本运算求解能力，属于基础题．‎ ‎9．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．‎ ‎【答案】-14‎ ‎【解析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得 解得：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.‎ ‎10．已知是夹角为的两个单位向量，向量，，若，则实数的值为____________‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】根据可得出，存在实数，使得，从而得出，并且不共线，从而得出，这样即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴存在实数，使，‎ ‎∴，‎ 又不共线，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共线向量的运用，考查向量的线性运算，属于于基础题．‎ ‎11．以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】计算行列式得，再根据直线的法向量，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴行列式的形式表示的直线方程的一个法向量．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎12．直线在轴上的截距等于轴上的截距的2倍，则的值为________.‎ ‎【答案】或0‎ ‎【解析】对直线的截距进行讨论，即和两种情况，分别求出截距后，列方程求出的值．‎ ‎【详解】‎ 直线，‎ 当时，直线化为，‎ 在轴上的截距与在轴上的截距都为0，满足题意；‎ 当时，直线化为，‎ 在轴上的截距是，在轴上的截距是，‎ ‎，解得；‎ 综上，的值为或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的一般形式、截距概念，考查分类讨论思想和运算求解能力．‎ ‎13．已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，从而得到关于的不等式，求解不等式，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；‎ 若，直线方程可化为，此时若直线不经过第二象限，‎ 则且，解得.‎ 综上满足条件的实数的范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜截式方程，考查分类讨论思想的运用，求解时注意对斜率分两种情况进行讨论，同时注意将答案进行整合，防止错解为.‎ ‎14．已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由点和在直线的同侧，可得，求出范围，进一步得到斜率和倾斜角的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点和在直线的同侧，‎ ‎∴，‎ 解得，设直线的倾斜角，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴直线倾斜角的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线倾斜角与斜率的关系、不等式表示平面区域，考查运算求解能力，求解的关键是不等式的建立．‎ ‎15．已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．‎ 解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，‎ 由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），‎ 由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，‎ 故﹣≤0，故点M在射线OA上．‎ 设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．‎ ‎①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），‎ 把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．‎ ‎②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，‎ 由题意可得三角形NMB的面积等于，‎ 即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜，‎ 故有＜b＜．‎ ‎③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．‎ 设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），‎ 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|=，‎ 即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．‎ 由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．‎ 两边开方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣，‎ 故有1﹣＜b＜．‎ 再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，‎ 解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，‎ 由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．‎ 由于a＞0，∴b＞1﹣．‎ 当a逐渐变大时，b也逐渐变大，‎ 当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．‎ 综上可得，1﹣＜b＜，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．‎ ‎16．定义：对于实数和两定点，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度契合”.若边长为4的正方形中，，且该正方形满足“4度契合”，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分析：根据定义，分类讨论P点在四条边上的不同情况；转化成m的表达式后，利用二次函数求得m的范围；分析在四种情况下，哪个符合有4个解，即可得到m的取值。‎ 详解：以AB为x轴，AD为y轴，A为原点建立平面直角坐标系。所以 。因为P点位置不确定，所以分四种情况讨论：‎ 当P点在AB上时，设 ， ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解 当 时，有2个解 ‎（2）当P点在BC上时，设 ， ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解 当 时，有2个解 当 时，有1个解 ‎（3）当P点在CD上时，设 ， ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解 当 时，有2个解 ‎（4）当P点在AD上时，设 ， ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解 当 时，有2个解 当 时，有2个解 由（1）可知，当 时，有2个解。所以当 时，也有2个解 综上所述，当或有4个解，满足“度契合”。‎ 点睛：本题考查了新定义问题，利用分类讨论思想求得参数取值范围，向量的数量积坐标表示等，分析量、计算量、都很大，需要细致分析才能解决问题，对思维有很高要求，属于难题。‎ 三、解答题 ‎17．已知直线方程，，问为何值时，‎ 相交，平行，重合？‎ ‎【答案】，相交；，平行；，重合 ‎【解析】由直线相交、平行、重合的充要条件，可得关于的限制条件，解即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线方程，，‎ ‎∴相交时，即 ‎∴时，相交；‎ 平行时，，解得，‎ ‎∴时，平行；‎ 重合时，，解得，‎ ‎∴时，重合．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与直线相交、平行、重合位置关系充要条件的应用，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18．已知，与的夹角为120°，当为何值时.‎ ‎（1）与垂直；‎ ‎（2）取得最小值？并求出最小值.‎ ‎【答案】（1）； （2）时，‎ ‎【解析】（1）根据条件先求出，再与垂直时，进行数量积的运算即可求出；‎ ‎（2）先得出，配方即可求出的取最时值，进而得出的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），与的夹角为120°，，‎ ‎∵与垂直，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴时，取得最小值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的运算、模的计算、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想和运算求解能力，属于基础题．‎ ‎19．设D为的边AB上一点，P为内一点，且满足，，.‎ 求：（1）记，求关于的表达式；‎ ‎（2）求出的最大值并求出相应的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）当且仅当时，取得最大值.‎ ‎【解析】（1）先推出：，，再根据面积公式可求得；‎ ‎（2）先化简得，再利用基本不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，；‎ ‎（2），当且仅当时，取得最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理在三角形中的运用、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力，在运用基本不等式求最值时，注意一正二定三等的运用．‎ ‎20．在直角坐标系中，过点作直线交轴于A点、交轴于B点，且P位于AB两点之间.‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）求当取得最小值时直线的方程；‎ ‎（3）当面积最小值时的直线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】设直线可求出，．结合位于之间，建立关于的不等式，可得．‎ ‎（1）由的坐标，得出向量和坐标，从而将化为关于的方程，解出值，即得直线的方程；‎ ‎（2）由向量数量积的坐标运算公式，得出关于的表达式，再用基本不等式得到取得最小值时的斜率，从而得到直线的方程．‎ ‎（3）求出，再利用基本不等式求最小值，从而得到等号成立的条件，即，由此能求出当面积最小值时的直线方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，直线的斜率存在且，‎ 设，得令，得，所以，‎ 再令，得，所以，‎ ‎∵点位于两点之间，∴且，解得．‎ ‎∴，，‎ ‎（1）∵，∴，解得．‎ ‎∴直线的方程为，整理得．‎ ‎（2）∵，∴，‎ 当，即时，等号成立．‎ ‎∴当取得最小值时直线的方程为，‎ 化为一般式：．‎ ‎（3）∵，，，‎ ‎∴，‎ 当时，即时，取等号，‎ ‎∴当面积最小值时的直线方程为，即．‎ ‎【点睛】‎ 本题以向量的坐标运算为载体，求直线的方程，考查直线的方程和向量在几何中的应用等知识，考查函数与方程思想和运算求解能力．‎ ‎21．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：‎ ‎（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；‎ ‎（2）分别求和时，所对应的直线条数；‎ ‎（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.‎ ‎【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线； ②时，3条直线； ③时，4条直线.‎ ‎【解析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与 轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；‎ ‎（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线可化为，‎ 令，解得，‎ ‎∴不论为何实数，直线过定点.‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在，且，‎ 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为；‎ ‎∴的面积为；‎ 令，得，时，方程化为，‎ 解得，有两个正根，即有两条直线；‎ 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线；‎ 综上知，时有两条直线；‎ 令，得，时，方程化为，‎ 解得，有两个正根，即有两条直线；‎ 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；‎ 综上知，时有四条直线；‎ ‎（3）由题意得，，时，方程化为，‎ 解得，有两个正根，即有两条直线；‎ 时，方程化为，， 时，‎ ‎，方程无实数根，此时无直线；‎ 时，，方程有一负根，此时有一条直线；‎ 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线；‎ 综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线；‎ 所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个；‎ 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个；‎ 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．‎