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- 2021-06-19 发布
数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( )
A．330° B．210° C．150° D．30°
2．若sin α＝，<α<π，则sin＝( )
A．－ B．－ C. D.
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B. C．2sin 1 D．sin 2
4．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A． 向右平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C． 向左平移个单位长度 D． 向左平移个单位长度
5．化简得( )
A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2 C．sin 2－cos 2 D．±cos 2－sin 2
6．函数f(x)＝tan的单调增区间为( )
A.，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
7．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
8．若，则等于( )
A． B． C． D．
9．函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值之和为( )
A. B．2 C．0 D.
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为( )
A．－ B. C．－ D.
11.已知函数在一个周期内的图象如图所示．若方程在区间上有两个不同的实数解，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
12．已知函数f (x)=f (p-x),且当时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则（ ）
A.a0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
22．(12分)某港口水深y(米)是时间单位:小时)的函数,下表是水深数据:
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数的图象.
(1) 试根据数据表和曲线,求出的表达式;
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)
答案
1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. C 7. C 8. C 9. A 10. B 11.D 12. D
13. m 14. －2 15. (2kπ，2kπ＋π)，k∈Z 16.
17. 解：（1）
；.
（2），
又是第三象限角,，.
18. 解：解:由已知原方程判别式,
解得或.又
,即.
或(舍去).
.
(1)由诱导公式可得 .
(2)
19. 解：(1)列表如下：
x
－
x＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图如图所示．
(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π，
对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，
单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)．
20. 解：(1)因为函数图象过点(0，1)，
所以2sin φ＝1，即sinφ＝. 因为0≤φ≤，所以φ＝.
(2)由(1)得y＝2sin，
所以当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，
y＝2sin是增函数，故y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由y≥1，得sin≥，
所以＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即2k≤x≤＋2k，k∈Z，
所以y≥1时，x的集合为.
21. 解：(1)由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.
由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又因为－π<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝3sin.
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)由题意知，方程sin＝在上有两个根．
因为x∈，所以2x＋∈.
所以∈.所以m∈[3＋1，7)．
22. 解：(1)根据数据,，
,,
,
,
将点代入可得
函数的表达式为;
(2)由题意,水深, 即,
, ,,1,
或;
所以,该船在至或至能安全进港.
若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.