- 123.00 KB
- 2021-06-19 发布
2017-2018学年黑龙江省青冈县一中高二下学期期中考试A卷数学（文）试题
一．选择题（共12小题，每小题5分）
1．集合P={x|0≤x＜3}，M={x||x|≤3}，则P∩M=（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}
2．设复数z满足（1+i）z=i﹣1，则|z|=（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
3．函数y=+的定义域为（ ）
A．[，+∞）B．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C．[，3）∪（3，+∞）D．（3，+∞）
4．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为（ ）
A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③①
5．若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．以上都不对
6． 设，则 （ ）
7．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A． B． C．﹣ D．2
8．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
B．a，b，c中至少有两个偶数
C．a，b，c都是偶数
D．a，b，c都是奇数
9．[]表示不超过的最大整数．若
S1=[]+[]+[]=3，
S2=[]+[]+[]+[]+[]=10，
S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21，
…，
则Sn=（ ）
A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1）
10．在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（ ）
A．ρcosθ= B．ρcosθ=2 C．ρ=4sin（θ+） D．ρ=4sin（θ﹣）
11．函数y=xln|x|的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
12．二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．[2，+∞） C．（0，2] D．[2，4]
二．填空题（共4小题，每小题5分）
13．复数= ．
14．将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为x2+y2=1，则曲线C的方程为 ．
15．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是 ．
16
．在以O为极点的极坐标系中，曲线ρ=2cosθ和直线ρcosθ=a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为 ．
三．解答题（共6小题）
17．（10分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的实根，
q：函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知i是虚数单位，且（1+2i）=3+i．
（1）求z；
（2）若z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
19．（12分）观察下列方程，并回答问题：
①x2﹣1=0；②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0；…．
（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；
（2）直接写出第2018个方程的根；
（3）说出这列方程的根的一个共同特点．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．
21．（12分）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
数学答案A卷
1-12 CBCDA CCADB CD
13 . 14 . 15. 195 16 .
17.解：∵x2+mx+1=0有两个不等的实根，
∴判别式△=m2﹣4＞0，得m＞2或，m＜﹣2，
即p：{m|m＞2或，m＜﹣2}，
由函数f（x）=（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数，得m2﹣m+1＞1，即m2﹣m＞0，得m＞1或m＜0，
即q：{m|m＞1或m＜0}
因为“p或q为真，非p为真”所以p假q真．
非p：{m|﹣2≤m≤2}，q：{m|m＞1或m＜0}
所以 {m|﹣2≤m＜0或1＜m≤2}
18.解：（1）由（1+2i）=3+i．
得，则z=1+i；
（2）∵z=1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，
∴（1+i）2+p（1+i）+q=0，即p+q+（2+p）i=0．
∴，解得
19.解：（1）由已知中的方程：
①x2﹣1=0；
②x2+x﹣2=0；
③x2+2x﹣3=0；
④x2+3x﹣4=0；…．
归纳可得，第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n=0，
（2）第2018个方程为：x2+2017x﹣2018=0，
此方程可化为：（x+2018）（x﹣1）=0，
故第2018个方程的根为：1，﹣2018.
(3)这列方程的根共有两个，一个是1，一个是﹣n．
20.解：（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．
（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，
∴，即t1，t2异号．
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．
21.解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．
22.解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，
∴其普通方程为：x+y﹣=0，
联立得：，
∴ρ2=x2+y2=+=5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ=．