2021高考数学一轮复习课后限时集训69离散型随机变量及其分布列理北师大版 7页

课后限时集训69‎ 离散型随机变量及其分布列 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)‎ A．0　　 B．　　 　‎ C．　　 D． C　[由已知得X的所有可能取值为0,1，‎ 且P(X＝1)＝2P(X＝0)，‎ 由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.]‎ ‎2．若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c‎2－c ‎3－‎‎8c 则常数c的值为(　　)‎ A.或 B． ‎ C. D．1‎ C　[根据离散型随机变量分布列的性质知 解得c＝.]‎ ‎3．若随机变量X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2] B．[1,2]‎ C．(1,2] D．(1,2)‎ C　[由随机变量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]‎ ‎4．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)‎ 7‎ A．ξ＝4 B．ξ＝5‎ C．ξ＝6 D．ξ≤5‎ C　[ “放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.]‎ ‎5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)‎ A. B． ‎ C. D． C　[如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.]‎ 二、填空题 ‎6．设随机变量X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m 则P(|X－3|＝1)＝________.‎ 　[由＋m＋＋＝1，解得m＝，‎ P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.]‎ ‎7．(2019·洛阳模拟)袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.‎ 　[P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.]‎ ‎8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．‎ ‎－1,0,1,2,3　[X＝－1，甲抢到一题但答错了．‎ X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．‎ X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题， 且1错2对．‎ X＝2时，甲抢到2题均答对．‎ X＝3时，甲抢到3题均答对．]‎ 三、解答题 ‎9．某射手射击一次所得环数X的分布列如下：‎ 7‎ X ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ 现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.‎ ‎(1)求ξ＞7的概率；‎ ‎(2)求ξ的分布列．‎ ‎[解]　(1)P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.‎ ‎(2)ξ的可能取值为7,8,9,10.‎ P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，‎ P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，‎ P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，‎ P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.‎ ‎∴ξ的分布列为 X ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.01‎ ‎0.24‎ ‎0.39‎ ‎0.36‎ ‎10.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2019年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：‎ PM2.5日均值 ‎(微克/立方米)‎ ‎[25，‎ ‎35)‎ ‎[35，‎ ‎45)‎ ‎[45，‎ ‎55)‎ ‎[55，‎ ‎65)‎ ‎[65，‎ ‎75)‎ ‎[75，‎ ‎85]‎ 频数 ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；‎ ‎(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．‎ ‎[解]　(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ ‎(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．‎ 7‎ ‎∴P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于(　　)‎ A. B． ‎ C. D． D　[由分布列的性质，‎ 得a＋＋＝1，所以a＝.‎ 而x∈[1,2)，‎ 所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.]‎ ‎2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)‎ A．P(X＝3) B．P(X≥2)‎ C．P(X≤3) D．P(X＝2)‎ D　[由超几何分布知P(X＝2)＝.]‎ 7‎ ‎3．(2019·山东滨州月考)如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.‎ 　[法一：(直接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，‎ ‎∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，‎ P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，‎ ‎∴X的概率分布列为 X ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 法二：(间接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，‎ 故P(X≥8)与P(X＝7)是对立事件，‎ 所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.]‎ ‎4．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.‎ ‎(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；‎ ‎(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y的分布列．‎ ‎[解]　(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3，‎ 则P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以X的分布列为 7‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(2)因为得分Y＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，而X的可能取值为0,1,2,3，所以Y的可能取值为6,9,12,15，则 P(Y＝6)＝P(X＝0)＝，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝，‎ P(Y＝12)＝P(X＝2)＝，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝.‎ 所以Y的分布列为 Y ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ P ‎1．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入坐编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．‎ ‎(1) n的值为________；‎ ‎(2) P(X＝3)＝________.‎ ‎(1)4　(2)　[(1)因为当X＝2时，有C种坐法，‎ 所以C＝6，即＝6，‎ n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.‎ ‎(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，则 P(X＝3)＝＝＝.]‎ ‎2．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎　[ξ的可能取值为0,1，.‎ 7‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝.‎ P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.‎ 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎]　‎ 7‎