2019届二轮复习第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想课件（30张）（全国通用） 30页

第 2 讲　分类讨论思想、转化与化归思想 高考定位　 分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大 . 1. 中学数学中可能引起分类讨论的因素 (1) 由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等 . (2) 由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列 { a n } 的前 n 项和公式等 . (3) 由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等 . 真 题 感 悟 (4) 由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等 . (5) 由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等 . 2. 常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式 . 常见的转化方法有： (1) 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 . (2) 换元法：运用 “ 换元 ” 把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 . (3) 数形结合法：研究原问题中数量关系 ( 解析式 ) 与空间形式 ( 图形 ) 关系，通过互相变换获得转化途径 . (4) 等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 . (5) 特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题 . (6) 构造法： “ 构造 ” 一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 . (7) 坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 . (8) 类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定 . (9) 参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决 . (10) 补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合 A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U ，通过解决全集 U 及补集 ∁ U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则 . 探究提高 　 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等 . [ 应用 2] 　由数学运算要求引起的分类 【例 1 － 2 】 (1) 不等式 | x | ＋ |2 x ＋ 3| ≥ 2 的解集是 ________. (2) 已知 m ∈ R ，则函数 f ( x ) ＝ (4 － 3 m ) x 2 － 2 x ＋ m 在区间 [0 ， 1] 上的最大值为 ________. 探究提高 　 由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合 . 探究提高 　 由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 . 热点二　转化与化归思想 [ 应用 1] 　换元法 【例 2 － 1 】 已知实数 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＝ 1 ，则 a 的最大值是 ________. 探究提高 　 换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏 ( 或复杂 ) 的式子 ( 或数 ) ，用熟悉 ( 或简单 ) 的式子 ( 或字母 ) 进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行 . 探究提高　 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单 . 特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果 . [ 应用 3] 　常量与变量的转化 【例 2 － 3 】 对任意的 | m | ≤ 2 ，函数 f ( x ) ＝ mx 2 － 2 x ＋ 1 － m 恒为负，则 x 的取值范围为 ________. 探究提高 　 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是 “ 主元 ” ，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元、简化运算的目的 . 探究提高 　 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，且不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 及否定性命题情形的问题中 . 1. 分类讨论思想的本质是 “ 化整为零，积零为整 ”. 用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机 → 确定分类的标准 → 逐类进行讨论 → 归纳综合结论 → 检验分类是否完备 ( 即分类对象彼此交集为空集，并集为全集 ). 做到 “ 确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏 ” 的分析讨论 . 常见的分类讨论问题有： (1) 集合：注意集合中空集  讨论 . (2) 函数：对数函数或指数函数中的底数 a ，一般应分 a ＞ 1 和 0 ＜ a ＜ 1 的讨论；函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 有时候分 a ＝ 0 和 a ≠ 0 的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论 . (3) 数列：由 S n 求 a n 分 n ＝ 1 和 n ＞ 1 的讨论；等比数列中分公比 q ＝ 1 和 q ≠ 1 的讨论 . (4) 三角函数：角的象限及函数值范围的讨论 . (5) 不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论 . (6) 立体几何：点、线、面及图形位置关系的不确定性引起的讨论 . (7) 平面解析几何：直线点斜式中 k 分存在和不存在，直线截距式中分 b ＝ 0 和 b ≠ 0 的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论 . (8) 去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等 . 2. 转化与化归思想遵循的原则： (1) 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决 . (2) 简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据 . (3) 和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 . (4) 正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决 .