数学卷·2019届山东省潍坊市高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x 13页

2017-2018 学年度第一学期模块监测 高二数学（文科）试题 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ， ，那么下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由 ， 可得 考点：不等式性质 2. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 ， ， 选 A. 3. 若 的三个内角满足 ，则 （ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】解;因为 的三个内角满足 ， 利用余弦定理求解最大角，然后可以判定最大角的余弦值为负数，说明了该三角形为钝角 三角形，选 C 4. 设 是等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 【答案】D 【解析】 项中 ，故 项说法错误； 项中 ，故 项说法错误； 项中 ，故 项说法错误；故 项中 ，故 项说法正确，故选 D. 5. 若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 解集为 ，故选 A. 6. 《莱茵德纸草书》是世界最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100 个面 包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最 小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为 （其中 ）； 则 由 ，得 所以，最小的 1 分为 ．故选 A． 考点：等差数列的性质 7. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 作出约束条件 ，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得 ，平移直线 可知，当直线经过点 时，直线的截距最大，代 值计算可得 取最大值 ，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函 数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚 线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先 通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8. 设 是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 选项中 ， ，分别取 即可得 错误；假设 ，则 ，公差 ， ，即 正确；C 选 项中 ， ，分别取 即可得 C 错误； 项中无法判断公差 的正负，故 无法判断正负，即 错误，故选 B. 9. 在等腰 中，内角 所对应的边分别为 ， ， ，则此三 角形的外接圆半径和内切圆半径分别为（ ） A. 4 和 2 B. 4 和 C. 2 和 D. 2 和 【答案】C 【解析】等腰 中， ， ，可得 由正弦定理可得， ，由面积相等 可得 ， 故选 C. 10. 若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个 数依次成等比数列， 这三个数依次成等差数列，则 （ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 20 【答案】D 11. 设 ，若 ， ， ，则下列 关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得：若 ， ， ， ，故选 B. 12. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 ， ，且 ，则使得 为整数的正整数 的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 数列 和 均为等差数列，且前 项和 和 ，满足 ，可得 ，则 ，验证知，当 时， 为整数，即使得 为整数的 正整数 的个数是 ，故选 C. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题. 等差数列 的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若 为等差数列，且 ；(3)若 是等差数列，公差为 ，则是公差 的等差数列；(4)数列 也 是等差数列本题的解答运用了性质（2）. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 函数 的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 ， ，当且仅当 时取等号，故答案为 . 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时， 一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为 正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一 定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 14. 已知数列 是递减等比数列，且 ， ，则数列 的通项公式 _________． 【答案】 【解析】因为 ， ，所以 , ,又因为数列 是 递减等比数列，所以 ，数列 的通项公式 ，故答案为 . 15. 已知 中，满足 ， 的三角形有两解，则边长 的取值范围为 _________． 【答案】 【解析】在 中， ，由正弦定理可得， ，若此 三角形有两解，必须满足的条件为： ，即 ，故答案为 . 16. 寒假期间，某校长委员会准备租赁 两种型号的客车安排 900 名学生到重点高校进行 研学旅游， 两种客车的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1200 元/辆和 1800 元/ 辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过 21 辆，且 型车不多于 型车 7 辆，则 租金最少为__________元． 【答案】27600 【解析】 设分别租用 两种型号的客车 辆， 辆，所用的总租金为 元，则 ，其中 满足不等式组 ，即 ，由 ，得 ，作出不等式 组对应的平面区域平移 ，由图象知当直线 经过点 时，直 线的截距最小，此时 最小，由 得 ，即当 时，此时 的总租金 元，达到最小值，故答案为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 解下列关于 的不等式： （1） ；（2） . 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】试题分析：（1） 化为 ，等价 不等式求解即可；（2）分三种情况讨论 ，分别求解一元二次不等式即可. 试题解析：（I）将原不等式化为 ， 即 所以原不等式的解集 . （II）当 时，不等式的解集为{0}； 当 时，原不等式等价于 ， 因此 当 时， ， 当 时， ， 综上所述，当 时，不等式的解集为{0}，当 时，不等式的解集为， ,当 时，不等式的解集 18. 已知 的内角 所对应的边分别为 ，且满足 . （1）判断 的形状； （2）若 ， ， 为角 的平分线，求 的面积. 【答案】（1）直角三角形；（2） 【解析】试题分析：（1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角 和定理，诱导公式化简可求 ，即可判定三角形的形状；（2）由已知利用勾股定理可 求 ，利用三角形内角和定理可求 ，由正弦定理可求 的值，再利用三角形面积公 式得结果. 试题解析：（I）由 ，得 , , . , 故 为直角三角形. (II)由（I）知 ，又 ， ， , 由正弦定理得 , ， 19. 设 是等差数列 的前 项和，已知 ， ， . （1）求 ； （2）若数列 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1）18；（2） 【解析】试题分析：（1）根据等差数列 满足 ， ，列出关于 首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，根据等差数列的求和公式可得 递的 值；（2）由（1）知 ，从而可得 ，利用裂项相消法求解即可. 试题解析：（I）设数列 的公差为 ，则 即 ， 解得 ， 所以 . （也可利用等差数列的性质解答） (II)由（I）知 ， ， 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属 于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向， 突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此 外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 20. 已知 的内角 所对应的边分别为 ，且 . （1）求 ； （2）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：(1) 由 利用正弦定理得 ，再利用两角差和的正弦公式化简可得 所以 ；（2）由余弦定理结合条件 ，可得 ，利用二次函 数的性质可得结果. 试题解析：(I） , 即 , , 在 中， 可得 所以 . (II）∵ ，即 ， ， ∴由余弦定理得： ，即 ∵ ，∴ 则 21. 潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔 的高 度 （单位：米），如图所示，垂直放置的标杆 的高度 米，已知 ， . （1）该班同学测得 一组数据： ，请据此算出 的值； （2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离 （单位： 米），使 与 的差较大，可以提高测量精确度，若观光塔高度为 136 米，问 为多大时， 的值最大？ 【答案】（1）135；（2）见解析 【解析】试题分析：(1)根据三角函数的定义及直角三角形的性质可得 ， ， ，利用 ，化简即可得结果；（2）由 得 ，利用两角差的正切公式以及基本不等式可 的值最大. 试题解析：（I）由 ， ， , 及 ， 得 ， 解得 , 因此算出观光塔的高度 是 135m. (II）由题设知 ，得 ， 由 得 ， 所以 . 当且仅当 ，即 时， 上式取等号，所以当 时 最大. 22. 已知数列 的前 项和 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，设数列 的前 项和为 ，求 . （3）令 ，若 对 恒成立，求 实数的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】试题分析：(1) 当 时，利用公式 ；，可得 ，验 证当 时是否适合即可；（2）由（1）可得 ，利用错位相减法求和即可 （3）讨论当 为奇数时，当 为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后 利用放缩法可证明结论. 试题解析：(I)当 时， 当 时， ，适合上式， （ ）. (II) ，则 ， ， -得 ， . . (III) , 当 为奇数时， ， 当 为偶数时， ， 综上所述，