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- 2021-06-19 发布
2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（ ）
A．A∩B={x|x＞0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0} D．A∩B=∅
3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（ ）
A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0
4．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3
5．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
8．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法．
A．4 B．8 C．12 D．24
9．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
11．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga
（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.
13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）= ．
14．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°= ．
15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则△AOB的边长是 ．
16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则的最小值是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．
18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．
（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．
在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生
美国高中生
合计
（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；
（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．
附：，其中n=a+b+c+d．
P（k2≥k0）
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
10.828
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；
（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．
21．（12分）已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；
（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且
．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．
（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．
2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵=，
∴复数的实部为，虚部为，
∴复数的实部与虚部之积为．
故选：B．
2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（ ）
A．A∩B={x|x＞0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0} D．A∩B=∅
【解答】解：集合A={x|x＞1}，
B={x|2x＞1}={x|x＞0}，
则A∩B={x|x＞1}；
A∪B={x|x＞0}．
故选C．
3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（ ）
A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0
【解答】解：命题若p则q的逆否命题为：若￢q，则￢p，
即命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，
故选：D
4．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3
【解答】解：输出才结果为零，有y=0
由程序框图可知，当：y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；
当y=2﹣log3x=0，解得x=9．
综上，有x=﹣3，或者9．
故选：B．
5．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，
设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，
圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin=；
则所求的概率为P==．
故选：B．
6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r=2，高为2的圆锥的一半，如图，
∴该几何体的体积为：
V==．
故选：A．
7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
【解答】解：作出x、y满足约束条件
对应的平面区域，
由，得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，
直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．
由，得A（0，1），
此时z的最大值为z=+1=1，
故选：A．
8．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法．
A．4 B．8 C．12 D．24
【解答】解：根据题意，分2步分析：
①，先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有 C41=4种选法，
②
，对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，
被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，
因此三个人调换有2种调换方法．
故不同的调换方法有4×2=8，
故选：B．
9．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=+sin2x+3•=2+sin2x+cos2x
=2+sin（2x+），
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤π+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
结合，可得增区间为（0，]，
故选：C．
10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x﹣4）2+y2=4相切，
可得：=2，
可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2﹣4a2=c2，
解得e==．
故选：B．
11．（5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在各项都为正数的公比设为q的等比数列{an}中，
若a1=2，且a1•a5=64，
则4q4=64，解得q=2，
则an=2n，
可得数列，
即为{}，
可得=﹣，
数列的前n项和是
﹣+﹣+…+﹣
=1﹣，
故选：A．
12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）
【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有4个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：
又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，
则对于函数y=loga（x+2），
由题意可得，当x=6时的函数值小于1，
即loga8＜1，
由此解得：a＞8，
∴a的范围是（8，+∞）
故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.
13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）= 0.8 ．
【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），
∴曲线关于x=1对称，
∵P（ξ＞3）=0.2，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞3），
∴P（ξ≥﹣1）=1﹣P（ξ＞3）=1﹣0.2=0.8．
故答案为：0.8
14．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°= 44.5 ．
【解答】解：设S=sin21°+sin22°+…+sin289°，
则S=sin289°+sin288°+…+sin21°，
两式倒序相加，得：
2S=（sin21°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin289°+sin21°）
=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+coss289°）
=89，
∞S=44.5．
故答案为：44.5．
15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则△AOB的边长是 6 ．
【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，
∴直线OA的方程为y=x，联立，解得A（9，3）．
∴|AO|==6．
故答案为：．
16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则的最小值是 ﹣1 ．
【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，
△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，
斜边BC=2，
则A（0，），B（﹣，0），C（，0），
设P（x，y），
则+=2=（﹣2x，﹣2y），
=（﹣x，﹣y），
∴=2x2+2y2﹣2y
=2x2+2（y﹣）2﹣1，
∴当x=0，y=时，则取得最小值﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB，
又sinA=sin（B+C），
∴2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，
∴2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，
∴2sinBcosC+sinB=0，（sinB＞0）
∴，
又C∈（0，π）∴；
（Ⅱ）由面积公式可得，
即ab=2，
∴ab=8，
c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab=36﹣8=28，
∴．
18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．
（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．
又∵AP⊂平面PAD，∴CD⊥AP．
∵PD⊥AP，CD∩PD=D，∴AP⊥平面PCD．
∵AP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，
可得PO⊥底面ABCD，OQ⊥AD，
以O为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
不妨设正方形的边长为2，可得A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），
设平面APB的一个法向量为，
而，，
则，即，取x1=1，得；
设平面BCP的一个法向量为，
而，，
则，即，取y2=1，得，
∴=，
由图知所求二面角为钝角，
故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．
在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生
美国高中生
合计
（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；
（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．
附：，其中n=a+b+c+d．
P（k2≥k0）
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
10.828
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；
在家
其他
合计
中国
22
33
55
美国
9
36
45
合计
31
69
100
根据表中数据，计算=，
∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；
（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，
∴X的可能取值为0，1，2；
计算，
，
；
∴X的分布列为：
X
0
1
3
P
数学期望为：．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；
（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．
【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），则N（x，0），，
又∵，∴，
由M在椭圆上，得，即；
（Ⅱ）证明：当l1与x轴重合时，|AB|=6，，
∴．
当l1与x轴垂直时，，|CD|=6，
∴．
当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），
此时设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
把直线l1与曲线E联立，
得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0，
可得△=（﹣18k2）2﹣4（8+9k2）（9k2﹣72）＞0．
，．
∴，
把直线l2与曲线E联立，
同理可得．
∴为定值．
21．（12分）已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；
（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且．
【解答】解：（Ⅰ）∵要使参数a对函数值不发生影响，∴必须保证x=0，
此时f（0）=e0﹣a×02﹣2×0=1，所以函数的图象恒过点（0，1）．
（Ⅱ）依题意得：ex﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，
∴ex≥ax+1恒成立．
构造函数g（x）=ex﹣ax﹣1，
则g（x）=ex﹣ax﹣1恒过（0，0），g'（x）=ex﹣a，
①若a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在R上递增，
∴ex≥ax+1不能恒成立．
②若a＞0时，g'（x）=0，∴x=lna．
∵x∈（﹣∞，lna）时，g'（x）＜0，函数g（x）=ex﹣ax﹣1单调递减；
x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）=ex﹣ax﹣1单调递增，
∴g（x）在x=lna时为极小值点，g（lna）=a﹣alna﹣1，
∴要使ex﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，只需a﹣alna﹣1≥0．
设h（a）=a﹣alna﹣1，则函数h（a）恒过（1，0），h'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，
a∈（0，1），h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；a∈（1，+∞），h'（a）＜0，函数h（a）单调递减，
∴h（a）在a=1取得极大值0，
∴要使函数h（a）≥0成立，只有在a=1时成立．
证明（Ⅲ）f'（x）=ex﹣2x﹣2，
设m（x）=ex﹣2x﹣2，
∴m'（x）=ex﹣2，
令m'（x）＞0，x＞ln2
∴m（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，
m（ln2）=﹣2ln2＜0，
∴f'（x）=m（x）=ex﹣2x﹣2在x=ln2处取得极小值，
可得f'（x）一定有2个零点，分别为f（x）的一个极大值点和一个极小值点，
设x0为函数f（x）的极小值点，则x0∈（0，2），
∴f'（x0）=0，，
=
∵m（2）=e2﹣2×2﹣2=e2﹣6＞0，，
∴在区间上存在一个极值点，
∴最小极值点在内．
∵函数f（x）的极小值点的横坐标，
∴函数f（x）的极小值，
∴
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ）
又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ
∴2ρ=8cosθ，
化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，，k∈Z．
（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为
点（2，0）到直线的距离为：，
∴△OAB面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．
（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=1时，．
不等式f（x）＞1为|x+1|﹣|x﹣1|＞1．
①当x≥1时，因为不等式为x+1﹣x+1=2＞1，所以不等式成立，
此时符合；符合要求的不等式的解集为{x|x≥1}；
②当﹣1≤x＜1时，因为不等式为x+1+x﹣1=2x＞1，所以，
此时，符合不等式的解集为；
③当x≥1时，因为不等式为﹣x﹣1+x﹣1=﹣2＞1不成立，解集为空集；
综上所述，不等式f（x）＞1的解集为．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||x+a|﹣|x﹣b||≤|a+b|，a＞0，b＞0
∴a+b=2．
∴，
当且仅当a=b=1时，等号成立．
另解：（Ⅱ）因为a＞0，b＞0，所以﹣a＜0＜b，
所以函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|=|x﹣（﹣a）|﹣|x﹣b|=，
所以函数f（x）的图象是左右两条平行于x轴的射线和中间连结成的线段，
所以函数的最大值等于a+b，所以a+b=2．
∵a+b=2，
∴．
或者=，
当且仅当a=2﹣a，即a=1时，“等号”成立．