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- 2021-06-19 发布
华山中学2018-2019学年第二学期高二年级期中考试
数学（文科）试卷
考试时间：120分钟 分值：150分 命题教师：袁青
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A ∪B等于（ ）
A. B.
C. 1，2， D. 0，1，2，
2. 复数z =，则|z|=（ ）
A. 1 B. C. D. 2
3. 下列四个结论：
①命题“”的否定是“”；
②若是真命题，则可能是真命题；
③“且”是“”的充要条件；
④当时，幂函数在区间上单调递减.
其中正确的是（）
A. B. C. D.
4. 关于x的不等式mx2+2mx-1＜0恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列函数中不是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
1. 在直角坐标系中，函数f（x）=lnx - 的零点大致在下列哪个区间上（）
A. B. C. D.
2. 函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数f（x）= 在x∈R内单调递减，则a的范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，且函数在处有极值，则的最小值为
A. B. C. D.
5. 若函数 在[1，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)＝-f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝-2x+1，设函数，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
1. 函数=单调递减区间是_________．
2. 已知函数f（x）=ex+2cosx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程______
3. 若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是______．
4. 设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是_________
三、解答题（共70分）
17.定义在R上的偶函数f（x），当x∈（-∞，0]时，f（x）=-x2+4x-1．
（1）求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的解析式；
（2）求函数f（x）在x∈[-2，3]上的最大值和最小值．
18.为了研究高二阶段男生、女生对数学学科学习的差异性，在高二年级所有学生中随机抽取25名男生和25名女生，计算他们高二上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次数学考试成绩的各自的平均分，并绘制成如图所示的茎叶图．
（1）请根据茎叶图判断，男生组与女生组哪组学生的数学成绩较好？请用数据证明你的判断；
（2）以样本中50名同学数学成绩的平均分x0(79.68分)为分界点，将各类人数填入如下的列联表：
分数
性别
高于或等于x0
低于x0
合计
男生
女生
合计
（3）请根据（2）中的列联表，判断能否有99%的把握认为数学学科学习能力与性别有关？
附：K2=
P（K2≥k0）
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，N是棱AD的中点．
求证：平面平面PAD；
设，求点N到平面PAC的距离．
20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F，斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，且|AB|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R（1，2）的两点D、E，若直线DR，ER分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|取最小值时直线DE的方程．
21已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx-2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．
选考题（10分）（请考生在第22、23题中任选一题作答，多做则按所做第一题计分）
22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的极坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|的值．
23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-m|．
（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥2m-1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
高二年级期中考试文科数学参考答案
1-5CBAAD 6-10ACDBC 11-12BB
13.(0,2) 14.x-y+3=0 15.（0,）16.
17.【答案】解：（1）根据题意，设x＞0，则-x＜0，
则f（-x）=-x2-4x-1，
又由y=f（x）为偶函数，则f（x）=-x2-4x-1（x∈（0，+∞））
（2）由（1）的结论：，
y=f（x）在x∈[-2，0]上单调递增，在x∈[0，3]上单调递减，
则f（x）max=f（0）=-1；f（x）min=min{f（-2），f（3）}=f（3）=-22，
函数f（x）在[-2，3]上的最大值是-1，最小值是-22．
18.【答案】解：（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．
理由如下：
①由茎叶图可知：男生成绩分布在80～90的较多，其它分布关于茎80具有初步对称性；女生成绩分布在70～80的较多，其它分布关于茎70具有初步对称性．因此男生成绩比女生成绩较好．
②由茎叶图可知：男生组25人中，有17人（占68%）超过80分，女生组25人中，只有8人（占32%）超过80分，因此男生组成绩比女生组成绩好．
③由茎叶图可知：男生组成绩的中位数是85分，女生组成绩的中位数是75分，85＞75，由此初步判定男生组成绩比女生组成绩好．
④用茎叶图数据估计：男生组成绩的平均分是83．4，女生组成绩的平均分是75.96分，因此男生组成绩比女生组成绩高．或者，由茎叶图直观发现，男生平均成绩必然高于80分，女生平均成绩必然低于80分，可以判断男生成绩高于女生成绩．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
…………………………………………………………………………………（4分）
（2）计算样本50个数据的平均值为x0=79.68，以此为分界点，将各类人数填入列联表如下：
分数
性别
高于或等于x0
低于x0
合计
男生
17
8
25
女生
8
17
25
合计
25
25
50
……………………………………………………………………………………（8分）
（3）计算得K2==6.48＜6.635，
所以没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异．（或者回答为：没有充足的证据表明男生和女生对数学学习具有明显的差异．）……………………（12分）
19.【答案】（1）证明：在四棱锥中，底面ABCD是矩形，
，
，，
平面PAD，
平面PAB，平面平面PAD．
(2)用等体积法得点N到平面PAC的距离为．
20.【答案】解：（1）抛物线y2=2px的焦点为F（，0），
直线方程为：y=x-，
代入y2=2px（p＞0）中，消去y得：x2-3px+=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=3p；
由|AB|=8，得x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2，
所以抛物线C的方程为：y2=4x；
（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE的方程为x=m（y-1）+1，m≠0，
如图所示，由，
消去x，整理得：y2-4my+4（m-1）=0，
∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m-1），
设直线DR的方程为y=k1（x-1）+2，
由，解得点M的横坐标xM=，
又k1==，
∴xM==-，
同理点N的横坐标xN=-，
|y2-y1|==4，
∴|MN|=|xM-xN|=|-+|=2||==
，
令m-1=t，t≠0，则m=t+1，
∴|MN|=2•=2•=2•≥2•=，
所以当t=-2，即m=-1时，|MN|取最小值为，
此时直线DE的方程为x+y-2=0．
21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
.．
若a≤0，则f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上递减；
若a＞0，则由f'（x）＞0得：；
由f'（x）＜0得：．
∴f（x）在上递减，在递增．（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，即a-1=0，解得：a=1．
∴f（x）=x-1-lnx．
由f（x）≥bx-2得：x-1-lnx≥bx-2，
∵x＞0，
∴．
令，
则
由g'（x）＞0得：x＞e2；
由g'（x）＜0得：0＜x＜e2．
所以，g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）递增．
∴，
∴．
22.【答案】解：（1）把，展开得，
两边同乘得．①
将代入①，
即得曲线C的直角坐标方程为．②
（2）将代入②式，得，
点M的直角坐标为（0，3），则点M在直线l上，
设这个方程的两个实数根分别为t1， t2，
则由参数t的几何意义得．
23.【答案】解：（Ⅰ）当m=3时，原不等式可化为|x-1|+|x-3|≥5．
若x≤1，则1-x+3-x≥5，即4-2x≥5，解得；
若1＜x＜3，则原不等式等价于2≥5，不成立；
若x≥3，则x-1+x-3≥5，解得．综上所述，原不等式的解集为：．
（Ⅱ）由不等式的性质可知f（x）=|x-1|+|x-m|≥|m-1|，
所以要使不等式f（x）≥2m-1恒成立，则|m-1|≥2m-1，
所以m-1≤1-2m或m-1≥2m-1，解得，所以实数m的取值范围是．