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- 2021-06-19 发布
思南中学2018-2019学年度第二学期高二年级期末考试
理科数学
一、 选择题（单项选择，每小题5分，共60分）
1、已知集合，则
A． B． C． D．
2、复数z满足，则复数的虚部是（ ）
A．1 B．－1 C． D．
3、一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是a,b,c，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4、的展开式中，常数项为( )
A．－15 B．16 C．15 D．－16
5、设等差数列的前n项和为，且，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数a的取值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
7、函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是( )
A． B． C． D．
8、如图，在正方体中，M,N分别是
的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B． 平面
C． D．平面
是
开始
S=0,n=1
S=S+
n=n+2
n<2018
输出S
结束
否
9、若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A． B．
C． D．
10、有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）
A． B． C． D．
11、已知为坐标原点， ， 是双曲线： （， ）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． 2 C． D．
12、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 （ ）
A． B．(0,2016) C．(0,2020) D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、向量的夹角为，且则__________
14、已知等比数列的首项为1，且，则__________.
15、已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，当时，则的面积为___________.
16、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．
二、解答题（共70分）
17、（12分）已知分别为内角的对边，且．
（1）求角A；
（2）若，求的面积．
男
女
9
15
7
7
8
9
9
9
8
16
1
2
4
5
8
9
8
6
5
0
17
2
3
4
5
6
7
4
2
1
18
0
1
1
19
18、（12分）思南县第九届中小学运动会于2019年6月13日在思南中学举行，组委会在思南中学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，求出的分布列和数学期望.
19、（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．
（1）求证：平面AEC；
（2）求二面角的大小．
20、（12分）已知抛物线，过点C(－2,0)的直线交抛物线于A，B两点，坐标原点为，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线的方程．
21、（12分）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求证：．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（10分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：
（1）圆C的直角坐标方程；
（2）圆C的极坐标方程．
23、（10分）设函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
思南中学2018-2019学年度第二学期高二年级期末考试
理科数学答案
一、填空题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
C
B
B
B
D
C
C
D
D
D
二、填空题
13、6 14、128 15、 16、930
三、解答题
17、解：．
所以，由正弦定理可得：
（2）因为
所以由余弦定理，可得：，解得：c=4(负值舍去)，
18、解：（1）
0
1
2
3
P
（2）的分布列为:
则.
19、（1）略（2）
20、解：(1)设直线l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0.(1)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.
因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)将(1)化为y2－4my＋8＝0.则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
设AB的中点为M(xM，yM)，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又|AB|＝|y1－y2|＝，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝ (4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±.
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
21、解：（1）函数的导数为
函数在点处的切线斜率为，
由切线方程，可得
，解得.
(2)证明：因为导数为
由和的图象可得它们只有一个交点，
设横坐标为m，即，
且时，递增；
时，递减，
可得x=m处f(x)取得最小值
由知，所以上式中等号不成立,故
22、解：（1）圆C的直角坐标方程为．
（2）把代入上述方程，得圆C的极坐标方程为．
23、(1）；（2）